5. Философия и проблема обоснования математики.

Проблема обоснования математического знания на различных стади­ях его развития. Геометрическое обоснование алгебры в Античности. Проблема обоснования математического анализа в XVIII в. Поиски еди­ной основы математики в рамках аксиоматического метода. Открытие па­радоксов и становление современной проблемы обоснования математики.

Логицистская установка Г. Фреге. Критика психологизма и кантовско-го интуиционизма в понимании числа. Трудности концепции Г. Фреге. Представление математики на основе теории типов и логики отношений (Б. Рассел и А. Уайтхед). Результаты К. Геделя и А. Тарского. Методологи­ческие изъяны и основные достижения логицистского анализа математики.

Идеи Л. Брауэра по логицистскому обоснованию математики. Праин-туиция как исходная база математического мышления. Проблема сущест­вования. Учение Л. Брауэра о конструкции как о единственно законном способе оправдания математического существования. Брауэровская кри­тика закона исключенного третьего. Недостаточность интуиционизма как программы обоснования математики. Следствия интуиционизма для со­временной математики и методологии математики.

Гильбертовская схема абсолютного обоснования математических те­орий на основе финитной и содержательной метатеории. Понятие фи-нитизма. Выход за пределы финитизма в теоретико-множественных и семантических доказательствах непротиворечивости арифметики (Г. Генцен, П. Новиков, Н. Нагорный). Теоремы К. Геделя и программа Д. Гильберта: современные дискуссии.

6. Философско-методологические и исторические проблемы математизации науки.

Прикладная математика. Логика и особенности приложений матема­тики. Математика как язык науки. Уровни математизации знания: коли­чественная обработка экспериментальных данных, построение матема­тических моделей индивидуальных явлений и процессов, создание математизированных теорий.

Специфика приложения математики в различных областях знания. Новые возможности применения математики, предлагаемые теорией ка­тегорий, теорией катастроф, теорией фракталов и др. Проблема поиска адекватного математического аппарата для создания новых приложений.

Математическая гипотеза как метод развития физического знания. Математическое предвосхищение. «Непостижимая эффективность» ма­тематики в физике: проблема рационального объяснения. Этапы мате­матизации в физике. Неклассическая фаза (теория относительности, квантовая механика). Проблема единственности физической теории, связанная с богатыми возможностями выбора подходящих математиче­ских конструкций. Постклассическая фаза (аксиоматические и конст­руктивные теории поля и др.). Перспективы математизации нефизичес­ких областей естествознания. Границы, трудности и перспективы математизации гуманитарного знания. Вычислительное, концептуаль­ное и метафорическоеприменения математики. Границы применимости вероятностно-статистических методов в научном познании. «Мораль­ные применения» теории вероятностей — иллюзии и реальность.

Математическое моделирование: предпосылки, этапы построения модели, выбор критериев адекватности, проблема интерпретации. Срав­нительный анализ математического моделирования в различных облас­тях знания. Математическое моделирование в экологии: историко-мето-дологический анализ. Применение математики в финансовой сфере: история, результаты и перспективы. Математические методы и модели и их применение в процессе принятия решений при управлении слож­ными социально-экономическими системами: возможности, перспекти­вы и ограничения. ЭВМ и математическое моделирование. Математиче­ский эксперимент.