4.3. Определение абсолютных линейных скоростей и ускорений места установки измерительных устройств
Согласно кинематической схеме (см. рис.1.) можем записать:
.
(4.12)
Или с учетом соотношений ( ), получим:
.
(4.13)
Где
.
(4.14)
С помощью матриц
,
(4.15)
можно из однородной матрицы перемещения выделить
.
(4.16)
Согласно правилам перемножения матриц и выделения искомых матриц, имеем:
.
(4.17)
Таким образом, для получения абсолютной линейной скорости необходимо определить
(4.18)
(4.19) Учитывая
соотношения
;
;
(4.20)
или
;
;
.
(4.21)
Тогда имеем:
(4.22)
Обычно абсолютная скорость движения исследуемой точки необходимо выразить в проекциях на оси установочной системы координат, т.е.
.
(4.23)
Т.о., вектор абсолютной линейной скорости места установки измерительных устройств, выраженный в проекциях на оси установочной системы координат, имеет вид:
(4.24)
Или
(4.25)
Учитывая соотношения
(4.26)
получим окончательно
(4.27)
Для того, чтобы получить выражение для абсолютного линейного ускорения, необходимо вычислить
.
(4.28)
Т.е.
(4.29)
Запишем полученный результат в матричной форме
, (4.30)
Индекс “~ (тильда)” указывает на кососимметричную форму данной матрицы.
В традиционной форме угловую скорость можно представить в виде
(4.32)
г
де
(4.31)
4.4. Пример: абсолютные угловые скорости и линейные ускорения места установки блока датчиков.
1.7Постановка задачи
Измерительный блок, состоящий из трех датчиков угловой скорости и трех акселерометров, входные оси которых соответственно направлены по ортогональным осям: OdXd1iYd1iZd1i (i=1, 2, 3.) – для датчиков угловой скорости (ДУС) и OdXd2iYd2iZd2i (i=1, 2, 3.) – для датчиков линейного ускорения (АКС). Следует отметить, что измерительный блок установлен на существенном удалении его от центра масс ЛА, а входные оси датчиков, как правило, не параллельны направлениям осям связанной системы координат ЛА.
В качестве параметров угловой ориентации ПО в работе использованы следующие параметры:
кардановы углы (углы ортогональных поворотов) – угол курса, угол тангажа и угол курса ЛА;
направляющие косинусы – компоненты матрицы (в форме Литвин – Седого);
А также однородные параметры, позволяющие задавать как угловые, так и линейные перемещения рассматриваемых систем координат.
Связь между используемыми системами координат представлена на Рис.1.; в качестве параметров, определяющих расположение систем координат между собой, использованы, так называемые, однородные параметры в матричной форме.
Вместо одновременного рассматривания двух систем координат датчиков ДУС и АКС соответственно, пока будем рассматривать только одну (любую) из них, которую обозначим OdXdYdZd.
Рис.1. Системы координат
Тогда положение системы координат датчиков относительно инерциальной системы координат определяется следующим соотношением
.
(1.1)
Где матрицы положения, определяющие
ориентацию промежуточных систем
координат, имеют вид:
.
Здесь использованы следующие матрицы-вектора параметры положения:
(1.2)
- координаты места установки измерительного
блока на борту ЛА;
-
координаты места установки прибора в
измерительном блоке ;
HV – высота полета ЛА.
Выполнив следующие очевидные преобразования,
получим выражение для матрицы, определяющей положение системы координат датчиков относительно инерциальной системы координат
(1.3)
Следовательно, переходя к традиционной форме задания ориентации и положения системы координат датчиков относительно инерциальной системы координат, получим:
;
(1.4)
-
матрица направляющих косинусов,
определяющая угловую ориентацию системы
координат датчиков относительно
инерциальной системы координат;
; (1.5)
-
матрица-вектор, определяющая положение
начала системы координат датчиков
относительно инерциальной системы
координат.