1.3Связь параметров кватернионов с углами ортогональных поворотов
Имеем две системы координат: неподвижную СКs и подвижную СКm. Ориентацию подвижной системы координат относительно неподвижной вначале зададим УОП, определяющих последовательно три ортогональных поворота: (231) на углы -, θ, γ.
Связь между рассматриваемыми системами координат представлена на рис. 1.10.
Введем кватернионы Родрига-Гамильтона [1.4], соответствующие каждому из поворотов:
(1.38)
Вращение
и последующие вращения
и
эквивалентны одному вращению, определяемому
одним кватернионом, который определится
следующим произведением:
.
(1.39)
Следует обратить внимание на порядок перемножения кватернионов: каждый последующий поворот соответствует доумножению соответствующего кватерниона «с правой» стороны.
Рис.1.10
Раскрывая произведение кватернионов, получим формулы параметров кватерниона с углами ортогональных поворотов.
(1.40)
1.4Связь направляющих косинусов с параметрами кватернионов
Введем вектор
,
который определяет положение некоторой
точки M в системе координат
СКs. Представим этот вектор
в виде расширенной матрицы-столбца
; (1.41)
где
–
проекции вектора
на оси системы координат СКs;
.
(1.42)
Тогда для определения проекций вектора на оси подвижной системы координат СКm, запишем следующее соотношение:
.
(1.43)
Здесь
(1.44)
Раскрывая формулу (1.53), получим:
(1.45)
Зададим матрицу направляющих косинусов в виде
(1.46)
т.е.
.
Следовательно, связь направляющих косинусов с компонентами кватернионов определяется (в данном примере) следующими соотношениями:
(1.47)
1.5Кинематические уравнения (в кватернионной форме)
Рассмотрим поворот подвижной системы
координат СКm относительно
неподвижной – СКs.
Ориентацию подвижной системы координат
относительно неподвижной зададим
кватернионом
.
Зададим в системе координат СКs
вектор
.
Тогда
.
(1.48)
Продифференцируем выражение (1.58)
.
(1.49)
Учтем
и
.
(1.50)
Т.к.
;
то
.
(1.51)
Тогда
.
(1.52)
Следовательно, выражение (1.49) примет вид
.
(1.53)
Пусть
(1.54)
Покажем, что
.
(1.55)
Действительно:
(1.56)
Сравнивая формулы (1.53) и (1.55), можем записать выражение для угловой скорости поворота системы координат СКm относительно неподвижной системы СКs, выраженное в проекциях на оси системы координат СКm.
.
(1.57)
Тогда кинематические уравнения принимают вид:
(1.58)
В развернутом виде уравнение (1.58) имеем вид:
(1.59)
Или в матричной форме записи
(1.60)
Здесь
;
(1.61)