Наближення Лаґранжа

Інтерполяція за допомогою цього методу полягає в обчисленні невідомих значень функції шляхом одержання зваженого середнього значення функції у відомих сусідніх точках [8].

При лінійній інтерполяції використовується відрізок прямої, що проходить через дві задані точки , і записується у вигляді:

, (4.3)

де – коефіцієнти полінома Лаґранжа, який побудований на вузлах відповідно.

Вираз (4.3) можна записати у вигляді суми:

. (4.4)

Якщо використовується для наближення на інтервалі , такий процес називається інтерполяцією. Якщо (або ), то використання називають екстраполяцією.

Загальний вид полінома Лаґранжа ступеня , що проходить через N+1 точку :

, (4.5)

де – коефіцієнти полінома Лагранжа.

Коефіцієнти полінома Лаґранжа при фіксованому k мають властивості:

; (4.6)

. (4.7)

З (4.5) одержимо форму квадратичного й кубічного поліномів.

Квадратичний інтерполяційний поліном Лаґранжа побудований за трьома точками , , :

, (4.8)

де ; ; .

Кубічний інтерполяційний поліном Лаґранжа побудований за чотирма точками , , , :

, (4.9)

де ; ;

; .

Поліноми Ньютона

Іноді корисно знайти кілька поліномів P₁(x), P₂(x), …, P_N(x), які є наближенням функції і потім вибрати з них той, котрий задовольняє необхідні вимоги. При використанні поліномів Лаґранжа не існує чітко вираженого співвідношення між P_N-1(x) і P_N(x) – кожний поліном будується індивідуально, та обчислення полінома високого ступеня вимагає виконання безлічі операцій.

Поліном Ньютона, на відміну від полінома Лагранжа, має рекурентну властивість [8]:

(4.10)

(4.11)

(4.12)

Поліном (4.12) являє собою поліном Ньютона з N центрами і складається із P_N-1(x) за допомогою рекурентного співвідношення:

(4.13)

Задача інтерполяції полягає в знаходженні коефіцієнтів a_k для всіх поліномів P₁(x), P₂(x), …, P_N(x), які є наближенням заданої функції f(x).

P_k(x) будуються за центрами і мають вузли Коефіцієнти a_k полінома P_N(x) залежать від значень f(x_j), і обчислюються з використанням різницевих відношень функції f(x):

. (4.14)

Різницеві відношення для функції f(x):

(4.15)

Рекурентне правило побудови різницевих відносин високого порядку:

(4.16)

Таблиця різницевих відношень (табл. 4.1) будується з використанням (4.16).

Таблиця 4.1 – Різницеві відношення для

Для значень на інтервалі для функції f(x) можна побудувати єдиний поліном Ньютона зі степенем , для якого є правдивим:

. (4.17)

Поліном Ньютона має вигляд:

, (4.18)

де - коефіцієнти полінома Ньютона; .