Приклад розрахунку

Знайти наближений розв’язок диференціального рівняння на інтервалі [0; 3] з початковою умовою y(0)=1 й кроком за допомогою методів Ейлера і Хемінга та зобразити розв’язок у табличному та графічному вигляді з використанням пакета Matlab. Визначити помилки методів. Порівняти наближений розв’язок диференціального рівняння з точним розв’язком та проаналізувати точність методів між собою.

Розв’язок

Скористаємося методами Ейлера і Хемінга для розв’язання заданого диференціального рівняння (задачі Коші).

У табл. 2.3 наведено значення наближеного розв’язання диференціального рівняння різними методами та їх помилок у точках, які отримані з використанням пакета Matlab та програмних блоків, що наведені в табл. 2.1 на інтервалі [0; 3] з кроком .

Таблиця 2.3 – Порівняння результатів розв’язку диференціального рівняння методами Ейлера і Хемінга

tk	Метод Ейлера		Метод Хемінга
	yk	Помилка	yk	Похибка
0.0	1.0000	0	1.0000	0
0.5	0.7500	0.0864	0.8364	-0.2343 10-4
1.0	0.6875	0.1321	0.8196	-0.3650 10-4
1.5	0.7656	0.1515	0.9171	-0.4264 10-4
2.0	0.9492	0.1544	1.1036	0.0334 10-4
2.5	1.2119	0.1476	1.3595	-0.1022 10-4
3.0	1.5339	0.1355	1.6694	-0.1681 10-4

Рисунок 2.4 – Порівняння результатів розв’язку диференціального рівняння методом Ейлера (1) і Хемінга (2) з точним розв’язком при однаковому кроці

Рисунок 2.5 – Помилки методів Ейлера (e₁(t)) і Хемінга (e₂(t))

На рис. 2.4 і 2.5 наведено графіки розв’язків диференціального рівняння, які отримані за допомогою методів Ейлера і Хемінга з однаковими кроками інтеґрування та похибка кожного з них відповідно.

Порівняємо точність методів, обчисливши середньоквадратичні відхилення помилок розв’язку за формулою:

,

де – значення вибірки з N елементів;

– математичне очікування чи середнє арифметичне вибірки.

Для методу Ейлера , для Хемінга .

Таким чином, найточніший розв’язок отримано за допомогою методу Хемінга – помилка має найменше значення порівняно з помилкою методу Ейлера. При цьому точність методу Хемінга набагато перевищує точність методу Ейлера.

Завдання №3 математичний опис нелінійностей рекомендації щодо виконання

При дослідженні динамічних режимів складних технічних систем необхідно враховувати нелінійності, які характерні як для самої системи, так і для її системи управління (СУ).

Розрізняють нелінійності, що зумовлені [12]:

– механічними характеристиками електродвигунів;

– характеристиками технологічних машин і механізмів;

– конструкцією і властивостями механічної передачі, силами тертя;

– властивостями і характеристиками елементів СУ.

Нелінійні залежності поділяються на дві групи: аналітичні та неаналітичні [12].

Аналітичні можуть бути зображені системою кусково-безперервних рівнянь. Для опису неаналітичних нелінійностей використовують методи інтерполяції та апроксимації.

Якщо деяка складна функція задана в табличному вигляді, то знаходять наближену до неї функцію. Таку процедуру називають інтерполяцією. Інтерполяційну функцію зручніше описувати у вигляді полінома, оскільки його значення легко обчислити за скінчену кількість кроків, інтеґрувати, диференціювати. Відомі інтерполяційні поліноми Лаґранжа; поліноми, записані у формі Ньютона; кускова інтерполяція кубічними поліномами та ін. [8, 12].

У деяких випадках доцільним є проведення апроксимації нелінійностей за методом найменших квадратів або за допомогою використання ортоґональних функцій [8, 12].

Коли технологічні процеси є дуже складними, для аналізу та дослідження особливо корисним є нечітке керування [2]. Математична теорія нечітких множин дозволяє описувати не­чіткі поняття й знання, оперувати цими знаннями і робити нечіткі висновки.

Для опису нечітких систем використовують знання експертів замість диференціальних рівнянь. Ці знання можуть бути виражені звичайним чином за допомогою лінґвістичних змінних, які описуються нечіткими множинами.

Нехай Е – універсальна множина, x – елемент Е, а Р – деяка властивість. Звичайна (чітка) підмножина А універсальної мно­жини Е, елементи якої мають властивість Р, визначається як множина впорядкованих пар:

,

де – характеристична функція, яка приймає значення 1, якщо елемент х має властивість Р, і 0 – у протилежному випадку.

Нечітка (під)множина відрізняється від звичайної тим, що для еле­ментів х з універсальної множини Е немає однозначної відповіді «так/ні» відносно наявності властивості Р. У зв’язку з цим нечітка (під)множина А універсальної множини Е визначається як множина впорядкованих пар з ха­рактеристичною функцією приналежності (або просто функцією приналежності), яка набуває значення в деякій упорядкованій множині . Функція приналежності вказує на ступінь (чи рівень) при­належності елемента x підмножині А. Зазвичай функції приналежності описуються за допомогою ломаних ліній.

Аналогічно діям зі звичайними множинами над нечіткими множинами можна виконувати операції перетину, об’єднання та заперечення [8].