3.Поток векторного поля через поверхность.

Пусть σ – некоторая ориентированная поверхность в области G. Выберем определённую её сторону, задав единичный вектор нормали к поверхности .

Определение. Потоком вектора через поверхность σ называется поверхностный интеграл от скалярного произведения вектора поля на нормальный единичный вектор к поверхности: . (14.4)

Имеют место другие формы записи потока вектора. Например, учитывая, что , получим: . Или можно определить вектор , направленный по нормали к поверхности, такой, что: , . Тогда: .

Если поверхность σ замкнута, то обычно за направление вектора берут направление внешней нормали к поверхности и обозначают

. (14.5)

Если изменить ориентацию (взять другую сторону поверхности), то скалярное произведение и, соответственно, поток меняют знак.

Поток можно записать в координатной форме, вычислив скалярное произведение векторов и :

. (14.6)

Или (см. занятие 13), (14.7)

где в правой части имеем поверхностный интеграл второго рода.

Пример 14.2. Вычислим поток векторного поля через часть плоскости , заключённую в первом октанте, в сторону нормали, составляющей тупой угол с осью OY.

Решение. Вычислим поток по формуле (14.4): , где σ – плоскость с уравнением . (см. рис.14.3)

В

Рисунок 9

спомним, что нормальным вектором к плоскости с уравнением является .

В

Рисунок 14.3

нашей задаче . Этот вектор составляет острый угол с осью OY. А единичный вектор, составляющий тупой угол с равен .

Сведём задачу к вычислению интеграла I рода (см. занятие 13). Для этого вычислим скалярное произведение и подставим его в формулу.

, .

Но , т.е. . Из векторной алгебры известно, что площадь треугольника MNP равна половине модуля векторного произведения двух векторов, на которых построен треугольник (см. рис. 14.3Рисунок 9), т.е. .

Ответ: .

Замечание. Можно было бы вычислить поток с помощью поверхностного интеграла 2-ого рода (см. (14.6) и (14.7)). Тогда каждое из слагаемых в формуле (14.7) преобразуется в двойной интеграл по области D, являющейся проекцией поверхности σ на соответствующую координатную плоскость(см.занятие13):

4.Дивергенция векторного поля. Соленоидальное векторное поле.

Пусть в области G задано векторное поле и - внутренняя точка области G.

Определение. Дивергенцией поля в точке называется предел отношения потока через замкнутую поверхность σ, охватывающую

точку , к объёму , заключённому внутри этой поверхности, при условии, что эта поверхность стягивается к точке .( ).

(14.8)

В правую часть формулы (14.8) входят величины, инвариантные относительно выбора системы координат (поток векторного поля и объём области). Поэтому дивергенция зависит лишь от свойств поля и не зависит от выбора системы координат. Исходя из определения, можно записать

приближённую формулу: . (14.9)

Знак совпадает со знаком потока П через малую поверхность σ, охватывающую точку .

Если , то точка называется источником, если - то точка называется стоком поля.

Физический смысл : абсолютная величина дивергенции характеризует интенсивность (мощность, плотность) источника или стока.

Например, если - поле скоростей потока жидкости, то при жидкость вытекает из точки , а при точка поглощает жидкость. Если , то в данной точке нет ни источников, ни стоков. Определение . Векторное поле называется соленоидальным в области G, если в каждой точке этой области .

В декартовой системе координат дивергенция поля вычисляется по формуле . (14.10)