2.Определение поверхностного интеграла второго рода.

Пусть G - гладкая (кусочно-гладкая) ориентированная двусторонняя поверхность, в каждой точке которой определена функция . Разобьём произвольным образом поверхность на частей , площади которых . Выберем на каждой из частей произвольную точку . Пусть - площадь проекции части на координатную плоскость , взятая со знаком «плюс», если выбранный вектор составляет острый угол с осью , и со знаком «минус», если этот угол тупой. Составим интегральную сумму .

Определение. Если существует предел последовательности интегральных сумм при неограниченном увеличении числа разбиений и уменьшении каждой части, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода по переменным и .

.

Аналогично определяются поверхностные интегралы 2-ого рода по переменным и , а также по и .

В общем случае поверхностный интеграл 2-ого рода выглядит следующим образом:

(13.1)

3.Вычисление поверхностного интеграла 2-ого рода.

а)Первый способ. Вычисление поверхностного интеграла (13.1) сводится к вычислению двойных интегралов по тем областям, которые получаются при проецировании поверхности на координатные плоскости.

Пусть функция непрерывна во всех точках гладкой поверхности которая однозначно проецируется на координатную плоскость в область и её уравнение можно представить в виде . Ориентируем поверхность так, что нормальный к ней вектор составляет острый угол с осью . Интегральная сумма, приводящаяся к поверхностному интегралу, в этом случае будет выглядеть следующим образом: .

В пределе при соответствующих условиях получим преобразование поверхностного интеграла 2-ого рода по переменным и в двойной:

.

Если выбрать другую ориентацию поверхности, тогда вектор нормали будет составлять с осью тупой угол и перед двойным интегралом появится знак «минус».

Аналогично для непрерывных функций и

, где - уравнение поверхности и нормальный вектор составляет с осью острый угол , и , где - уравнение поверхности и нормальный вектор составляет с осью острый угол .

В общем случае поверхностный интеграл 2-ого рода по гладкой ограниченной поверхности, которая однозначно проецируется в каждую из координатных плоскостей, сводится к трём двойным интегралам, знаки перед которыми выбираются соответственно тому, какие углы составляет выбранный нормальный вектор с осями координат.

.(13.2)

Пример 13.1. Вычислим интеграл , где - часть поверхности ограниченная так, что , если вектор нормали к поверхности составляет острый угол с положительным направлением оси OX.

Решение. Построим часть цилиндра параболического, ограниченную заданными плоскостями (см. рис. 13.3)

П

Рисунок 13.3

о рисунку видим, что вектор составляет с осью OX острый угол, с OY - прямой, с OZ – тупой, следовательно,

Рисунок 18.3

. Следовательно, часть интеграла по переменным и должна быть взята со знаком «плюс», часть по и обратиться в ноль, а часть по и следует

взять со знаком «минус».

.

Вычислим . Для этого построим проекцию области на плоскость . Уравнение проекция линии пересечения и на плоскость YOZ: .

Из уравнения поверхности выразим переменную и, подставив в подынтегральное выражение, вычислим интеграл.

.

Вычислим . Для этого построим проекцию области на плоскость . Переменную из уравнения поверхности подставим в подынтегральное выражение и вычислим интеграл.

. Ответ: .

б)Второй способ вычисления поверхностного интеграла 2-ого рода.

Заметим, что если - площадь элементарной части поверхности и нормальный вектор к этой площадке составляет с осями координат углы , то . И тогда

. (13.3)

То есть поверхностный интеграл 2-ого рода сводится к поверхностному интегралу 1-ого рода. (см. занятие 12)

Отметим, что если уравнение поверхности имеет вид , то единичный нормальный вектор к ней в точке имеет координаты, совпадающие с его направляющими косинусами

, , . (13.4)

Подставив эти выражения в подынтегральное выражение и упростив его, получим интеграл вида .

Таким образом поверхностный интеграл 2-ого рода сведём к поверхностному интегралу 1-ого рода. (см. занятие 12).

Пример 13.2. Вычислим интеграл в условиях примера 13.1, преобразовав его в поверхностный интеграл 1-ого рода (см. (13.3) и (13.4)). Для этого найдём направляющие косинусы единичного нормального вектора к поверхности.

В рассматриваемом примере уравнение поверхности имеет вид и тогда с учётом того, что нормальный вектор составляет острый угол с осью OX. Преобразуем данный интеграл в поверхностный 1-ого рода.

.

Для вычисления получившегося поверхностного интеграла I рода спроецируем σ на плоскость XOY (см. рис. 13.3) и преобразуем интеграл в двойной (см. (12.1):

Из уравнения поверхности следует, что: , и .

Подставим всё в подынтегральное выражение, расставим пределы интегрирования в повторном интеграле и вычислим его.

Получаем .

Ответ: .

Занятие 14.

Векторное поле (определение). Векторные линии поля и их дифференциальные уравнения. Определение потока векторного поля через поверхность и дивергенция векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для односвязной области. Физический смысл дивергенции. Стоки и источники поля. Соленоидальное векторное поле и его свойства.

ОЛ-1 гл.6,7, ОЛ-2 гл.3, ОЛ-4 § 12, п. 12-3.

Практика: ОЛ-6 №№ 2374, 2361, 2365, 2367 или ОЛ-5 №№ 10.95, 102, 103, 105, 108, 145.

Домашнее задание к занятию 14: ОЛ-6 №№ 2362, 2364, 2366, 2368 или ОЛ-5 №№ 10.96, 99, 104, 144, 146.