5. Работа силы при перемещении материальной точки единичной массы из точки в точку вдоль кривой .

Пусть в каждой точке кусочно –гладкой кривой задан вектор, имеющий непрерывные функции-координаты: . Разобьём эту кривую на малых частей точками так, чтобы в точках каждой части значение функций можно было считать постоянными, а сама часть могла быть принята за отрезок прямой (см. рис. 10.1). Тогда . Скалярное произведение постоянной силы, роль которой играет вектор , на прямолинейный вектор перемещения численно равно работе, которую совершает сила при перемещении материальной точки вдоль . Составим интегральную сумму . В пределе при неограниченном увеличении числа разбиений получим криволинейный интеграл 2-ого рода

. (10.7) Таким образом, физический смысл криволинейного интеграла 2-ого рода - это работа, произведённая силой при перемещении материальной точки от А к В по контуру L.

Пример 10.3. Вычислим работу, производимую вектором при перемещении точки вдоль части кривой Вивиани, заданной как пересечение полусферы и цилиндра , пробегаемой против часовой стрелки, если смотреть с положительной части оси OX.

Решение. Построим заданную кривую как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 10.3).

Р

Рисунок 10.3

абота по замкнутому контуру называется циркуляцией и обозначается буквой . Воспользуемся формулой (10.7):

Рисунок 10.3

.

Чтобы свести подынтегральное выражение к одной переменной, перейдём в цилиндрическую систему координат: .

Т.к. точка перемещается по кривой , то удобно в качестве параметра выбрать переменную , которая вдоль контура меняется так, что . Тогда получаем следующие параметрические уравнения этой кривой:

.При этом .

Подставим полученные выражения в формулу для вычисления циркуляции:

( - знак + указывает на то , что движение точки по контуру происходит против часовой стрелки)

Вычислим интеграл и получим ответ: .

Занятие 11.

Формула Грина для односвязной области. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. Нахождение функции по ее полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла (плоский и пространственный случаи).

ОЛ-1 гл.5, ОЛ-2 гл.3, ОЛ-4 гл.3 § 10, п. 10.3, 10.4.

Практика: ОЛ-6№№ 2318(а,б,д),2319(а,в),2322(а,г),2327,2329 илиОЛ-5 №№10.79, 82, 133, 135, 139.

Домашнее здание к занятию 11: ОЛ-6 №№ 2318 (в,г), 2319(в,г), 2322(б,в), 2328, 2330 или ОЛ-5 №№ 10.80, 134, 136, 140

1.Формула Грина.

Пусть на плоскости дана односвязная область , ограниченная кусочно- гладким замкнутым контуром . (Область называется односвязной, если в ней любой замкнутый контур может быть стянут в точку этой области).

Теорема. Если функции и их частные производные непрерывны в замкнутой области Г, то

Рисунок 11.1

- формула Грина. (11.1)

обозначает положительное направление обхода (против часовой стрелки).

Пример 11.1. Используя формулу Грина, вычислим интеграл по контуру, состоящему из отрезков OA, OB и большей дуги окружности , соединяющей точки A и B, если , , .

Р ешение. Построим контур ( см. рис.11.2). Вычислим необходимые производные.

Рисунок 11.2

, ; , . Функции и их производные непрерывны в замкнутой области, ограниченной данным контуром. По формуле Грина данный интеграл .

После подстановки вычисленных производных получаем

. Двойной интеграл вычислим, переходя к полярным координатам: .

Проверим ответ, вычислив интеграл непосредственно по контуру как криволинейный интеграл 2-ого рода. .

.

.

Ответ: .