4.Теорема существования криволинейного интеграла 1 рода.
Если
– кусочно-гладкая кривая и функция
непрерывна на ней, то существует
криволинейный интеграл I-го рода от этой
функции (функция интегрируема по кривой
),
то есть существует предел
и
он не зависит от способа разбиения
кривой на части и от выбора промежуточных
точек.
5.Физические приложения криволинейного интеграла первого рода.
а) Масса материальной кривой.
Если
- линейная плотность кривой, то масса
этой кривой
(9.12)
б) Статистические моменты плоской кривой относительно осей и .
(9.13)
в) Координаты центра масс плоской кривой .
(9.14)
г) Моменты инерции плоской кривой.
(9.15)
Формулы для решения задач в пространстве составляются аналогично.
6.Примеры решения задач.
Пример
9.1 (2299) Вычислим
массу правого лепестка лемнискаты
,
если линейная плотность в каждой точке
кривой
.
Решение.
Построим правую часть лемнискаты. Она
лежит в секторе
.
(См. рис.9.2)
Воспользуемся
формулами (9.10)
и (9.12).
Упростим
подкоренное выражение.
,
.
Рисунок 9.2
.И
учитывая, что
,
подставим всё
в рабочую формулу:
После вычисления интеграла получим
искомую массу
.
Обратите
внимание на то, что несмотря на
симметричную форму лепестка лемнискаты,
при составлении интеграла нельзя
использовать эту симметрию, так как
функция плотности не является чётной
на интервале
.
Пример 9.2. (2307) Найдём координаты центра тяжести полуарки циклоиды
.
Линейную плотность кривой будем считать
равной единице.
Решение.
Построим эскиз к задаче ( см. рис. 9.3).
Параметр
вдоль кривой меняется от
до
.
Воспользуемся
формулами (9.9)
,
(9.12),
(9.14)
при
.
Вычислим
.
Т.к.
Рисунок 9.3
Подставим
полученное выражение в формулы.
Масса по формуле (9.12):
По формулам (9.14) вычислим координаты искомой точки.
.
Ответ:
Пример
9.3. Вычислим
момент инерции материальной кривой,
которая является пересечением полусферы
и плоскости
,
если плотность
.
Решение.
Построим обе заданные поверхности и
линию их пересечения (
см.
рис. 9.4).
М
Рисунок 9.4
омент инерции пространственной кривой относительно начала координат вычисляется по следующей формуле:
.
(см.
(9.15))
Кривая
задана уравнениями
при
.
Перейдём
к её параметрическому заданию. Заметим,
что для точек кривой выполняются
уравнения
.
Тогда пусть
при
.
(см. примечание б))
При этом дифференциал
дуги кривой
,
плотность
.
Подставляем всё в рабочую формулу:
.
И после вычисления
интеграла получаем ответ:
.
Занятие 10.
Определение криволинейного интеграла второго рода. Теорема существования и свойства. Вычисление криволинейного интеграла второго рода с помощью определенного интеграла для случаев явно заданной функции и параметрически заданной функции. Работа силы при перемещении материальной точки единичной массы из точки А в точку В вдоль кривой АВ. ОЛ-1 гл.5, ОЛ-2 гл.2, ОЛ-4 гл. 3 § 10
Практика: ОЛ-6 №№ Л 6 №№ 2310, 2313, 2314, 2315, 2325 или ОЛ-5 №№ 10.72, 74, 76, 78.
Домашнее задание к занятию 10:ОЛ-6 №№ 2312, 2316, 2322, 2324 или ОЛ-5 №№ 10.71, 73, 77, 81.