1.3. Линейная модель обмена
Линейная модель обмена (модель международной торговли) впервые была предложена Д. Риккардо в XVIII веке.
Будем полагать, что
стран ведут торговлю. Обозначим
,
,
…,
части национальных бюджетов этих стран,
которые расходуются на покупку товаров.
Эти величины называют национальными
торговыми бюджетами.
Пусть – доля бюджета , которую -я страна тратит на закупку товаров у -ой страны. Введем матрицу коэффициентов
. (1.4)
Так как национальный торговый бюджет расходуется только на закупки товаров внутри страны и вне ее, то справедливы равенства
.
(1.5)
Матрицу вида (1.4) со свойством (1.5) называют структурной матрицей торговли.
Для -й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой
,
.
(1.6)
Условие сбалансированной (бездефицитной)
торговли заключается в том, что выручка
от торговли каждой страны должна быть
не меньше ее национального дохода, то
есть
или с учетом (1.6)
,
.
(1.7)
Нетрудно показать, что в условиях (1.7) возможен только знак равенства. Действительно, сложим все эти неравенства при от 1 до . Группируя слагаемые с величинами бюджетов , получим
.
(1.8)
В силу условий (1.5) неравенство (1.8) можно записать так:
,
откуда возможен только знак равенства.
Таким образом, условия (1.7) принимают вид
,
.
(1.9)
Введем в рассмотрение вектор-столбец национальных торговых бюджетов , тогда уравнения (1.9) можно записать в матричной форме
.
(1.10)
Это уравнение означает, что собственный
вектор структурной матрицы торговли
,
соответствующий ее собственному значению
,
состоит из национальных торговых
бюджетов стран, удовлетворяющих условию
бездефицитной международной торговли.
Пример 3. Структурная матрица торговли
двух стран имеет вид
.
Найти национальные торговые бюджеты
стран, удовлетворяющие условию
сбалансированной бездефицитной торговли
при условии, что сумма бюджетов этих
стран составляет 1 800 условных денежных
единиц.
Решение. Перепишем уравнение (1.10) в
виде
или
,
или
.
Перепишем матричное уравнение в виде системы
Решим эту систему методом Гаусса. Тогда
,
и вектор национальных торговых бюджетов
двух стран имеет вид
,
то есть бюджеты торгующих стран относятся
как
.
Так как сумма национальных торговых
бюджетов составляет 1 800 условных
денежных единиц, то есть
,
или
,
тогда
условных денежных единиц, а
условных денежных единиц.
Ответ. Национальные торговые бюджеты
двух стран составляют
,
условных денежных единиц.
Теоретический материал: [1, гл. 1, 3], [2, гл. 15, 16], [3, гл. 1], [4, темы 2–7], [6], [8], [9, гл. 1], [10], [11, гл. 17], [14, гл. 4], [15], [17, гл. 9], [19, гл. 7], [20, гл. 6].
Тема 3. Однофакторные оптимизационные модели микроэкономики
Необходимые математические понятия: функция, непрерывная функция, основные элементарные функции; производная, таблица производных основных элементарных функций, правила вычисления производных, применение дифференциального исчисления к исследованию функций.