5.3. Динамические модели рынка

5.3.1. Модель Эванса

Простейшей динамической моделью равновесия на рынке одного товара является модель Эванса. При ее построении используются следующие предположения:

1. Спрос и предложение являются линейными функциями цены:

, , (спрос с ростом цены убывает);

, , (предложение с ростом цены растет).

2. При нулевой цене спрос превышает предложение: .

3. Время считается непрерывным.

4. Изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением:

, . (5.2)

Согласно формуле (5.2) взаимодействие потребителей и производителей происходит таким образом, что отражающая это взаимодействие цена непрерывно приспосабливается к ситуации на рынке: в случае превышения спроса над предложением – возрастает, в противоположном случае – падает. Непрерывное изменение цены удобно описывать производной цены по времени: . Тогда, используя предположения 1–4, приходим к следующему дифференциальному уравнению относительно цены:

(5.3)

с начальным условием .

Дифференциальное уравнение (5.3) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Его состоянием равновесия, определяемым условием , является прямая . Решением, удовлетворяющим начальному условию , является функция

.

Так как , то равновесная цена с течением времени обязательно будет достигнута, причем ее значение не будет зависеть от начальной цены .

Заметим, что равновесная цена динамической модели Эванса в раз меньше равновесной цены статической модели «спрос-предложение», определяемой равенством , с теми же функциями спроса и предложения.

5.3.2. Модель рынка, учитывающая темп изменения цены

В реальных ситуациях спрос и предложение зависят не только от цены, но и от тенденции ценообразования и темпов изменения цены. В моделях с непрерывной и дифференцируемой зависимостью цены от времени эти характеристики описываются, соответственно, первой ( ) и второй ( ) производными функции по времени . В этом случае функции спроса и предложения могут иметь вид

, . (5.4)

Принятые в (5.4) зависимости могут быть объяснены следующим образом:

1) спрос «подогревается» темпом изменения цены: если темп растет (коэффициент при больше нуля), то рынок увеличивает интерес к товару, и наоборот;

2) изменение цены также влияет на спрос покупателя: если цена растет (коэффициент при больше нуля), то спрос уменьшается, если цена падает (коэффициент при меньше нуля), то спрос растет;

3) предложение также усиливается темпом изменения цены и ростом цены.

Если предположить, что в уравнениях (5.4) экзогенные параметры и ( ) – вещественные числа, то, записывая условие рыночного равновесия , получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно равновесной цены :

. (5.5)

Для прогнозирования изменения цены (динамики цены) требуется установить функциональную зависимость . Для этого нужно найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (5.5), которое может быть получено как сумма общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения

и любого частного решения неоднородного дифференциального уравнения (5.5). В качестве любого частного решения можно использовать значение равновесной цены , которое находят из уравнения (5.5), полагая в нем .

С прикладной точки зрения функция должна быть определена и положительна при ( ), и удовлетворять одному из следующих условий:

1. , – равновесная цена.

2. или не существует.

3. не существует, – ограниченная периодическая функция.

Условие 1 описывает состояние стабильного рынка в условиях конкуренции, условие 2 характеризует панику на рынке или гиперинфляцию, условие 3 – динамику цен товаров сезонного спроса (функция испытывает периодические колебания около состояния равновесия).

Пример 2. Пусть , . Найти равновесную цену и общий вид функции . Выяснить, какова тенденция изменения цены с течением времени.

Решение. Приравнивая и выполняя необходимые преобразования, получим уравнение (5.5) в виде

. (5.6)

Найдем равновесную цену, полагая в уравнении (5.6) . Тогда равновесная цена будет являться корнем уравнения , следовательно, (денежных единиц).

Найдем динамику изменения цены. Соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение имеет вид , его характеристическое уравнение имеет корни

.

Следовательно, – общее решение однородного дифференциального уравнения ( и – произвольные постоянные и могут быть заданы так, чтобы ). Тогда общее решение уравнения (5.6) представляет собой сумму и :

.

Выясним, какова тенденция изменения цены с течением времени. Для этого вычислим :

.

Так как выполняется условие 2, то состояние рынка стабильное. Динамика цены при условии, что в начальный момент времени цена , а скорость цены , показана на рис 5.3.

Ответ. Равновесная цена (денежных единиц). Динамика цены описывается функцией , состояние рынка стабильное.

Теоретический материал: [1, гл. 5, 6, 12], [2, гл. 3, 10, 11], [3, гл. 4, 9], [4, темы 9, 10, 21], [5], [6, гл. 2, 5 12], [7], [8, гл. 7], [9], [10, гл. 5, 19–21], [13, гл. 5, §3], [14], [18, гл. 4].

ЗАДАЧИ