4.2. Индекс Джини

Величину, равную отношению площади фигуры, ограниченной графиками функций и , к площади треугольника , называют индексом (коэффициентом) Джини: (см. рис. 4.1). Коэффициент Джини характеризует степень неравенства в распределении доходов населения.

Так как треугольник является прямоугольным и равнобедренным со стороной катета, равной 1, поэтому . Отсюда получаем формулу для вычисления коэффициента Джини

. (4.1)

В условиях абсолютного равенства площадь фигуры, ограниченной графиками функций и , , тогда и . В условиях абсолютного неравенства площадь фигуры, ограниченной графиками функций и , , тогда . Следовательно, , причем чем дальше кривая от прямой , тем более неравномерно распределены доходы в данной экономике, тем больше площадь фигуры , и тем ближе значение к единице.

Замечание. Иногда в литературе (например, в [19]) индексом Джини называют величину, равную площади фигуры, ограниченной графиками функций и .

Пример. Пусть функция Лоренца имеет вид . Найти индекс Джини.

Решение. Согласно формуле (4.1) имеем

.

Ответ: . Так как , то в данной экономике распределение доходов достаточно равномерное.

Теоретический материал: [1, гл. 11], [2, гл. 7], [4, тема 14], [9, гл. 12], [11, гл. 7], [14, гл. 4], [17], [19, гл. 4].

Тема 5. Моделирование рыночного равновесия

Необходимые математические понятия: функция, непрерывная функция, основные элементарные функции; предел функции, способы вычисления пределов функций; бесконечно малые и бесконечно большие функции, замечательные пределы и следствия из них; производная, таблица производных основных элементарных функций, правила вычисления производных; линейные дифференциальные уравнения первого порядка и методы их решения; линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и методы их решения, состояние равновесия дифференциального уравнения.

5.1. Спрос и предложение. Понятие о рыночном равновесии

Обмен товаров на деньги и наоборот называют рыночными отношениями. Важнейшими факторами рыночных отношений являются спрос и предложение. Спросом называют количество товаров, которое покупатели могут приобрести. Предложением называют количество товаров, произведенных на продажу. Рыночным равновесием называют ситуацию, когда удается продать все количество товаров, изготовленных на продажу, то есть величины спроса и предложения совпадают. Цену единицы товара, при которой достигается состояние рыночного равновесия (величины спроса и предложения совпадают), называют равновесной ценой. В силу того, что спрос и предложение меняются с течением времени под воздействием многих факторов, возникает задача поиска рыночного равновесия и равновесной цены, являющаяся главной проблемой не только рыночных отношений, но математического моделирования.

Простейшей моделью рыночного равновесия является так называемая паутинная модель «спрос-предложение». При ее построении используются следующие допущения:

1. На рынке имеется всего один продукт.

2. Изменяться может только цена этого продукта.

3. Все остальные факторы, от которых зависит спрос на данный товар и объем предложения данного товара (цены на другие товары, основные производственные фонды, характер применяемой технологии, налоги и дотации, природно-климатические условия и т.д.), остаются неизменными.

С учетом перечисленных допущений можно задать функции спроса и предложения от цены товара : и .

Х арактерной особенностью функции предложения для многих видов товаров является ее монотонное возрастание. Рост предложения при увеличении цены можно объяснить тем, что увеличивается оптимальный объем выпуска товара предприятием при увеличении его цены, а также тем, что для производства высокорентабельного товара в отрасль включаются новые предприятия. При этом на плоскости кривая предложения (линия на рис. 5.1) задается уравнением ( – предельные издержки от производства единицы продукции) и представляет собой геометрическое место точек минимумов линий постоянной прибыли (см. тему 7).

Характерная особенность функции спроса – ее монотонное убывание для многих видов товаров, при этом ее график (кривая на рис. 5.1) представляет собой геометрическое место точек на плоскости , в которых цена принимает максимально возможное значение на линиях постоянной полезности (см. тему 6).

Функции спроса и предложения являются основными составляющими модели рынка товаров, поскольку они, по предположению, представляют собой решения оптимизационных задач, которые возникают перед участниками («покупателями» и «товаропроизводителями»). Пересечение графиков спроса и предложения происходит в точке равновесия (точка на рис. 5.1), а соответствующую этой точке цену называют равновесной.

В силу свойств кривых спроса и предложения равновесное решение является устойчивым в том смысле, что если цена строго фиксирована и равна равновесной , то товаропроизводитель, максимизируя прибыль, поставляет на рынок товар в количестве ; одновременно потребитель, стремясь максимизировать полезность, предъявляет спрос . При установлении на совершенно конкурентном рынке равновесной цены объем товаров (предложение), предлагаемый товаропроизводителем и доставляющий ему максимум прибыли по данной цене, в точности равен спросу потребителя. Математически этот факт можно выразить уравнением , решением которого будет являться значение равновесной цены . Если параметры уравнения не зависят от времени, то его называют статической моделью «спрос-предложение», в противном случае – динамической моделью.

Динамические модели рынка используются для анализа изменения переменных (цена, спрос, предложение) во времени в случае, когда цена в начальный момент отличается от равновесной. При этом процесс установления равновесной цены может быть описан различными моделями при использовании одних и тех же функций спроса и предложения (предполагается, что функции предложения и спроса удовлетворяют следующим условиям: , ). Различают два подхода:

1) непрерывный, в котором динамика цен описывается дифференциальным уравнением вида или (см. пункт 5.3);

2) дискретный, когда переменные на промежутке времени принимаются неизменными.

В последнем случае последовательным промежуткам времени соответствуют значения цены , спроса и предложения . В зависимости от используемых гипотез в дискретной модели динамики цен происходит либо запаздывание предложения, – в этом случае равновесная цена определяется из уравнения , либо запаздывание спроса – в этом случае равновесная цена определяется из уравнения . В обоих случаях процесс поиска равновесной цены является итерационным, то есть представляет собой формирование последовательности цен , сходящейся к равновесной цене .

Динамические непрерывные модели «спрос-предложение» позволяют дать прогноз изменения цены с течением времени. Дискретные модели с запаздыванием представляют интерес потому, что в них более последовательно, чем в непрерывных, отражаются процедуры принятия решений. Подробнее о моделях «спрос-предложение» с запаздыванием можно ознакомиться в [11, гл. 5], [16, гл. 21] и [19, гл. 5].

Модель рыночного равновесия в экономической системе с производством, распределением и потреблением большого числа товаров была предложена в конце XIX века Вальрасом. При ее построении предполагается, что число производителей и потребителей так велико, что ни один из них не может влиять на цены. При исследовании модели было доказано, что при определенных условиях существуют цены конкурентного равновесия, при которых каждый потребитель максимизирует свою полезность, а каждый производитель – свою прибыль ([9, гл. 7]).