Основные методы решения уравнений с модулями
1. Попробовать "избавиться" от знака модуля, используя определение модуля.
2. Возвести уравнение (т.е. обе его части) в квадрат. Затем воспользоваться свойством 5.
3. Сделать постановку.
4. Самым универсальным методом решения уравнений, содержащих несколько знаков модулей, является следующий. Выражения, стоящие под знаками абсолютных величин, приравниваются к нулю. Корни полученных уравнений разбивают ОДЗ исходного уравнения на интервалы. На каждом таком интервале, используя определение модуля, удается освободиться от модулей.
7. Рациональные неравенства с модулями
Неравенства с модулями (как и все другие) можно решать методом интервалов. На этом пути, в частности, приходится решать уравнения с модулями. Однако, как правило, проще освободиться от модулей в самих неравенствах,а далее, если требуется, применять метод интервалов.
Обсудим, как это можно сделать.
1. Неравенства вида | f (x) > g (х) (≥, <, ≤) рекомендуем решать одним из двух способов, которые рассмотрены ниже.
1а. Из определения модуля следует, что изучаемые неравенства равносильны совокупности либо системе следующих неравенств:
| f
(х)| > g
(х)
(*)
| f
(х)| < g
(х)
– g (х) < f
(х) < g
(х)
Если неравенства, находящиеся слева от знаков “ ”, являются нестрогими то и в правой части эквивалентностей все неравенства следует заменить соответствующими нестрогими (“направленными” в ту же сторону).
В частном случае,
когда g
(х)
a
= const,
|
неравенство |
где |
эквивалентно следующему: |
1 2 |
| f (х)| < a |
а ≤ 0 а > 0 |
нет решений – a < f (х) < a |
3 4 5 |
| f (х)| ≤ a |
а < 0 а = 0 а > 0 |
нет решений f (х) = 0 – а ≤ f (х) ≤ а |
6 7 8 |
| f (х)| > a |
а < 0 а = 0 а > 0 |
ответ = ОДЗ f (х) ≠ 0 f (х) < – a и f (х) > a |
9 10 |
| f (х)| ≥ a |
а ≤ 0 а > 0 |
ответ = ОДЗ f (х) ≤ – a и f (х) ≥a |
1b. В ряде случаев (например, если g (х) –абсолютная величина), рассматриваемые неравенства удобнее всего решать возведением в квадрат.
|
Как решить неравенство |
| f (x)| > g (x), если g (x) ≥ 0 |
1 |
Почленно возвести в квадрат
|
| f (x)|2 > (g (x))2 ( f (x))2 > (g (x))2 |
2 |
Перенести (g (х))2 в левую часть |
( f (x))2 – (g (x))2 > 0 |
3 4 |
Воспользоваться формулой Применить метод интервалов |
( f (x) – g (x)) ( f (x) + g (x)) > 0 ... |
Освобождение от модулей на подмножествах ОДЗ. Неравенство может содержать несколько модулей | fi (x)|. Самым универсальным методом освобождения от них является следующий. Функции, стоящие под знаками модулей, приравниваются к нулю. Корни этих вспомогательных уравнений разбивают ОДЗ неравенства на интервалы. На каждом таком интервале определяем знаки функций fi и освобождаемся от модулей, используя определение: | fi (x)| = ± fi (x), в зависимости от знаков. Объединив решения, найденные на всех подмножествах ОДЗ, получаем окончательный ответ.