8. Иррациональные неравенства

Неравенства, в которых неизвестная содержится под знаком корня, называется иррациональным

При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение:

Если обе части неравенства на некотором множестве Х принимают только неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на множестве X). Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.

Рассмотрим неравенство вида

(1)

Ясно, что решение этого неравенства является в то же время решением неравенства f(x) ≥0 и решением неравенства g(x) >0 (из неравенства (1) следует, что g (х) > 0). Значит, неравенство (1) равносильно системе неравенств

Так как при выполнении условий, задаваемых первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, то их возведение в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Выполнив это преобразование, придем к системе

Неравенство равносильно системе неравенств

Рассмотрим теперь неравенство вида

(2)

Как и выше, заключаем, что f(x) ≥0 , но в отличие от предыдущего случая здесь g (х) может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. Поэтому заданное неравенство (2) рассмотрим в каждом из следующих случаев:

g (х) < 0 и g (х) ≥ 0. Получим совокупность систем

В первой из этих систем можно опустить последнее неравенство — оно вытекает из первых двух неравенств системы. Во второй системе можно выполнить возведение в квадрат обеих частей последнего неравенства.

В итоге приходим к следующему результату: неравенство равносильно совокупности двух систем

9. Тригонометрические функции

Знаки Sin  Знаки Cos 

Таблица значений тригонометрических функций

α	0							2
sin α	0				1	0	-1	0
cos α	1				0	-1	0	1
tgα	0		1		Не существует	0	Не существует	0
ctg α	Не существует		1		0	Не существует	0	Не существует

Основные тригонометрические тождества

Sin2α+cos2α=1,	tgα = , cosα≠0	Ctgα= , sinα≠0	tgα∙ctgα = l, cosα≠0, sinα≠0
Secα=1/cosα, cos α≠0	Cosecα=1/sinα, sin α≠0	tg2α+1=1/cos2α=sec2α, (cosα≠0)	ctg2α+1=1/sin2α=cosec2α, (sin α≠0)

Выражения одной функции через другую

S inα=±√(1-cos2α)

C osα=±√l - sin2 α

tgα=1/ctgα, cosα≠0, sinα≠0

Ctgα=1/tgα, cosα≠0, sinα≠0

Формулы отрицательного аргумента

sin (-α)=-sin α	tg(-α)=-tg α
cos (-α) = cos α	ctg(-α)=- ctg α

Формулы приведения

Функция α	Аргумент α
	π/2 α	π α	3π/2 α	2π α
sin α	cos α	sin α	-cos α	sin α
cos α	sin α	-cosα	sin α	cos α
tg α	ctg α	tg α	ctg α	tg α
ctg α	tg α	ctg α	tg α	ctg α

Формулы суммы двух аргументов

sin (α β)=sin α cos β cos α sin β,	cos (α β)=cos α cos β sin α sin β
tg (α+β)=	ctg (α+β)=
tg (α-β)=	ctg (α-β)=

Формулы двойного и тройного угла

sin 2α=2 sin α cos α	sin 3α=3sin α-4 sin3 α
cos 2α = cos 2α - sin 2α	cos 3α =4cos 3α-3 cos α
cos2α=1-2sin 2α, cos2α =2cos2α-1
tg 2α=	tg 3α=

Формулы преобразования

суммы тригонометрических функций

в произведения и произведения в суммы

sinα+sinβ=2	cosα+cosβ=2
sinα-sinβ=2	cosα-cosβ=-2
tg α+ tg β=	ctg α+ ctg β=
tg α- tg β=	ctg α-ctg β=
sinαsinβ=
cosαcosβ=
sinαcosβ=

Формулы половинного угла

10. Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же (определенным для данной последовательности) числом d, называемым разностью прогрессии.

Формула n-го члена a_n = a₁ + (n – 1) d.

Формула суммы n первых членов

11. Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q, называемое знаменателем прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0.

Если число членов прогрессии конечно, то она называется конечной геометрической прогрессией; в противном случае она называется бесконечной геометрической прогрессией.

Формула n-го члена a_n= a₁q ^{n –1}.

Формула суммы n первых членов .