12. Понятие производной

Производной функции y= f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю

Таблица производных

№ п/п	Х – аргумент	u- дифференцируемая функция аргумента
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

13. Показательная функция

Показательной функцией называется функция вида:

y=a^x, где а - заданное число, a>0, а .

графики функций y=2^x и y=(1/2)^x

14. Логарифмы и их свойства

a-основание

с –показатель степени

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени с, в которую надо возвести а, чтобы получить b.

, (где b>0; a>0; a≠1)

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. log_a 1=0

Формула перехода от одного основания к другому:

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называют функцию вида

где

15. Показательные уравнения

Определение: Показательными называют уравнения, содержащие неизвестную величину в показателе степени (основание степени не содержит неизвестной величины.

Рассмотрим «простейшее» показательное уравнение вида

, а>0.

Если b 0, то это уравнение решений не имеет.

Если b>0 и а 1, то f(x)=log_ab.

Если а = 1, то при b 1 данное уравнение не имеет решений.

при b =1 решением является любое число из области определения.

16. Логарифмические уравнения

Определение: Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма.

log_ax=b; x>0; a>0; a≠1. x=a^b

Для успешного решения логарифмических уравнений и неравенств необходимо уверенное владение формулами для логарифмов и свойствами логарифмической функции.

Использование формул логарифма произведения, частного и других без дополнительных оговорок может привести как к приобретению посторонних решений, так и к потере корней.

Поэтому необходимо внимательно следить за равносильностью совершаемых преобразований. Так, к примеру, в формуле log_аху=log_ах+log_ау

ОДЗ: xy>0

x>0

y>0

Запишем равносильное преобразование:

1)log_axy=log_a|x|+log_a|y|, xy>0

2)log_ax/y=log_a|x|-log_a|y|, xy>0

3)log_ax^2p=2p log_a|x|, x≠0

17. Логарифмические неравенства

При решении логарифмических неравенств, так же как и при решении показательных неравенств, нужно четко представлять себе, что логарифмическая и показательная функции с основанием, большим единицы, монотонно возрастают, и монотонно убывают с основанием, меньшим единицы, но положительным.

Неравенство

при а > 1 равносильно системе неравенств

log_ax₁<log_ax₂

x₁<x₂

а при 0 < а < 1 — системе неравенств

log_ax₁>log_ax₂

x₁<x₂

Неравенство

равносильно совокупности двух систем неравенств (переменное основание)