Понятие функции. Предел функции

Правило f, сопоставляющее каждому значению xD (область определения) единственное значение yG (область значений), называется числовой функцией, заданной на множестве D и принимающей значения в области G. (Предполагается, что D, G R)

Обозначение: y=f(x).

Способы задания функций

1. Табличный

Таблица значений живой массы бычка в зависимости от возраста.

Возраст после отъема (мес.)	1	2	3	4	5	6	7
Живая масса, кг (среднее значение)	15	22	32	46	65	88	110

2) Аналитический

Живая масса (y) телят до одного года (в кг) может быть выражена функцией:

y=378,4-419,6 e^-0,0001x,

где x – потребление полностью усвояемого питательного вещества (в кг)

3) Графический

График формирования зрелого почвенного профиля: 0 – ноль–момент, начало почвообразования,

p=p(t) – толщина почвенного слоя, как функция времени,

t_m – время образования зрелого почвенного профиля.

Предел функции

Пусть aR и функция f(X) определена в некоторой окрестности точки a: X(a-,a+) (>0). Можно представить себе ряд последовательностей X_n, сходящихся к точке a, значения которой лежит в области определения f(X) (X_nD(f))

Число A называется пределом функции f(X) в точке X=a, если для любой числовой последовательности X_n, сходящейся к а (X_nD(f), X_na n), последовательность соответствующих значений функции y_n=f(X_n) сходится и ее предел равен А.

Пишут:

Пример: Доказать, что функция не имеет предела при х=0.

Рассмотрим две последовательности и (n=1,2,..)

Ясно, что и

Значения соответствующих последовательностей:

,

,

Нашлись две последовательности , сходящиеся к 0, такие что, соответствующие значения пределов функции в них разные. Пришли к противоречию с определением предела. Функция f(x) не имеет предела при X=0.

Эквивалентное определение предела функции в точке

Число А называют пределом функции f(X) при (или в точке X=a ), если >0 >0: |f(X)-a|< для всех X: |X-a|<.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция (X) называется бесконечно малой при Xa, если

Функция M(X) называется бесконечно большой при Xa, если

- б. б. при X1 ( ).

Третье (эквивалентное) определение предела функции

Число А называют пределом функции f(X) при Xa, если можно представить: f(X)=A+(X), где (X) – б. м. при Xa

Свойства пределов функций аналогичны свойствам пределов последовательностей.

Пример: Найти



Можно представить:

Задача: Функция x(t)=1000+500(1-2^–t) соответствует непрерывному росту популяции бактерий от начального размера x₀=1000 до предельного размера.

Найти: Предельный размер популяции.



Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

Пример: Найти



Второй замечательный предел:

Пример: Доказать, что

