Основные теоремы о непрерывных функциях

1. Если функция f(x), g(x) определены в промежутках (a, b) и непрерывны в точке , то в этой точке функции:

также непрерывны (последняя функция непрерывна при условии, что ).

2. Если функция y=f(x) непрерывна в точке х₀, а функция g(x) непрерывна в точке =f (х₀), то сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке x₀.

3. Первая теорема Больцано – Коши.

Если функция f(x) задана на промежутке [a, b] и непрерывна в любой точке промежутка (a, b) и если на концах промежутка значения функции f(a) и f(b) имеют разные знаки, то между a и b существует (по крайней мере одно) такое значение x₀, при котором

4. Первая теорема Вейерштрасса.

Если функция f(x) определена и непрерывна в промежутке [a,b] (т.е. непрерывна в любой точке промежутка), то она ограничена в этом промежутке, т.е. существуют два таких числа m, M, что для любого справедливо неравенство:

.

5) Любая элементарная функция (т.е. функции x^, a^x, log_ax, sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x), arcsin(x), arccos(x), arctg(x), arcctg(x)) непрерывна во всех точках х из области ее определения.

Задачи для самостоятельного решения

1. Дана функция y= и два значения аргумента x₁=1, x₂=2.

А) Проверьте, является ли данная функция непрерывной или разрывной при данных значениях аргумента.

Б) Найдите односторонние пределы в точках разрыва.

В) Постройте график функции на интервале [-6, 6].

2. Вещественная функция f(x) задается как:

f(x) =

Найдите односторонние пределы и скачок функции в точке разрыва.

Постройте график функции на интервале [-4, 4].

Контрольные вопросы

1. Определение непрерывности функции в точке.

2. Определение левостороннего, правостороннего предела функции в точке.

3. Связь понятия непрерывности и наличия односторонних пределов функции в точке.

4. Определение разрыва I и II рода функции в точке.

5. Основные теоремы о непрерывных функциях.

3.2. Понятие производной и дифференциала функции

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

В соответствии с определением предела:

, где  - бесконечно малое при

(при ) функция f(x) непрерывна в точке x₀.

Геометрический смысл производной

К асательной к кривой y = f(x)

В точке M(x; y)называется прямая

являющаяся предельным положением

секущей , когда точка M₁

перемещаясь по кривой, стремится к y

точке . M 



x

Угловой коэффициент секущей:

При стремлении М₁ ,

Секущая ММ₁ стремится к касательной МТ.

Обозначим К- угловой коэффициент касательной

=

Угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению её производной в точке касания.