Задачи для самостоятельного решения

1) Больному делается инъекция лекарства в момент времени t = 0. Концентрация этого лекарства в крови в момент t описывается зависимостью , где положительные константы .

Доказать, что и при t > 0.

Каково максимальное значение и когда оно достигается?

Нарисуйте график x(t) при

2) Нужно изготовить коническую воронку с образующей l. Какова должна быть высота H воронки, чтобы ее объем был наибольшим?

3) В треугольник с основанием 4 и высотой 2 вписан прямоугольник наибольшей площади. Определить его площадь.

4) Даны точки А(0,3) и В(4,5). На оси Ох найти точку М так, чтобы расстояние S = AM + MB было наименьшим.

Контрольные вопросы

Сформулируйте признак экстремума функции в точке, используя знак второй производной.
Понятие выпуклости и вогнутости функции. Признак точки перегиба функции.
Понятие асимптоты функции. Расчет параметров асимптоты.
Порядок полного исследования функции и построения графика.
Сформулируйте теоремы Ролля, Коши, Лагранжа.

3.3 Первообразная. Правила интегрирования

Если при определении дифференциала функции, по заданной функции y=f(x) отыскивали ее производную , то при интегрировании имеем дело с обратной задачей: по заданной производной отыскать исходную функцию (первообразную).

Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x), если для каждого x(a,b) (x)=f(x) и dF(x)=f(x)dx.

Примеры:

Если отыскание производной операция однозначная, то отыскание первообразной данной функции – операция неоднозначная.

Если F(x) – первообразная f(x), то F(x)+C (C - const) – также первообразная функции f(x).

 По условию (x) = f(x), тогда (F(x)+C = =f(x).

Операция отыскания первообразной для данной непрерывной функции функции называется интегрированием а вся совокупность первообразных называется неопределенным интегралом этой функции.

Записывается:

Свойства неопределенного интеграла

Пусть f(x), g(x) – непрерывные функции , k=const.

Вид интеграла не изменится при переходе от переменной x к переменной u, где u=u(x) – дифференцируемая функция от x.

Таблица неопределенных интегралов

Задача интегрирования сводится, в простейшем случае, к элементарным преобразованиям, приводящим подинтегральную функцию к виду какого либо табличного интеграла.

Примеры. Найти первообразную: