Экстремум функции

Функция , называется убывающей на интервале (a, b), если для всех точек этого интервала при . Если же из < , то функция возрастающая.

Теорема: Если дифференцируемая в промежутке (a; b) функция y = f(x) имеет в каждой точке положительную (или отрицательную) производную, то эта функция возрастает (или убывает) на данном промежутке.

 По определению производной:

Из - функция убывает.

Функция y = f(x) имеет максимум ( минимум) при , если (соответственно ) для всех , достаточно близких ( .Точки минимума и максимума называются точками экстремум.

Необходимое условие экстремума функции

Теорема (Ферма): Если функция y = f(x) дифференцируема в интервале (a, b), и имеет в точке x₀ из (a, b) экстремум, то .

Достаточное условие экстремума

Пусть функция y = f(x) – дифференцируема в интервале (a,b) содержащем критическую точку x₀ (т.е. ).

Если при переходе аргумента слева направо через точку x₀, производная меняет знак с «+» на «-», то функция в этой точке имеет максимум.

Если знак меняется с «-» на «+», то функция в этой точке имеет минимум.

Если знак не меняется – экстремума нет.

П римеры:

1)

x

точка x₀=0 – точка минимума.

2)

в точке x₀=0 – экстремума нет.

y 0

Задачи для самостоятельного решения

1) Оценка радиуса арбуза на грядке через длину обхвата показала =10 см. .Через некоторое время радиус увеличился на 2 мм. Считая арбуз идеальным шаром, приближенно оценить – на сколько увеличился его объем.

1. Поилка для коров.

Под каким углом  следует сбить

три одинаковые доски, чтобы получить

водопойный желоб наибольшей вместимости.

2. Центральная усадьба совхоза С расположена в 50 км

о т райцентра А и в 30 км от магистрали, проходящей С

через райцентр. Под каким углом к магистрали

следует провести подъездной путь из С,

чтобы стоимость перевозок груза из А в С

и из С в А была наименьшей, если известно,

что перевозка по магистрали будет обходиться совхозу

в 2 раза дешевле, чем по подъездному пути.

A E D

Контрольные вопросы

1. Определение производной функции в точке.

2. В чем заключается геометрический и механический смысл производной?

3. Понятие дифференциала функции. Возможности его применения.

4. Определение экстремума функции в точке.

5. Необходимый и достаточный признаки экстремума функции в точке.

Приложения производной

Задачи с практическим содержанием на отыскание экстремума функции.

Задача 1: Масса животного, например быка (при правильных условиях содержания) – известная функция времени, т.е. возрастает по определенному закону: (кг).

Затраты на откорм одной головы можно приближенно описать линейной функцией времени: , где

a – цена молодняка приобретенного хозяйством;

b – затраты на содержание 1 головы в единицу времени.

Определить оптимальный срок откорма.

 Обозначим - стоимость произведенного продукта (c – const; стоимость 1 кг мяса).

Ф ункция прибыли выразится:

П , где

Для нахождения максимума функции П(t):

Вывод: Максимуму прибыли соответствует такое значение момента времени t*, для которого угловой коэффициент касательной к графику функции стоимости продукта, равен угловому коэффициенту прямой – графика функции затрат.

Т.е. при t= t* касательная к графику функции y(t) параллельна прямой затрат

Задача 2: В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает согласно уравнению

(t – время в часах).

Найти максимальный размер популяции.



Проверка: час < 10 час,

час > 10 час,

Вывод: максимальный размер популяции составляет

достигается по прошествии 10 часов роста.