4. Оператор импульса в координатном представлении.

Оператор координаты. Действие этого оператора на волновую функцию сводится к умножению ее на соответствующую координату, то есть.     

.

(3.27)

     В символической операторной форме записи этих операций имеют вид

  

.

(3.28)

      Объединяя эти формулы, можно ввести векторный оператор  , соответствующий радиусу-вектору   в классической механике. Такой оператор формально рассматривается как некоторый вектор, имеющий в качестве компонент в декартовой системе координат операторы  . Поэтому     

.

 Оператор импульса. С помощью операций дифференцирования по координатам определим операторы проекций импульса, записав эти определения в символической операторной форме как     

.

(3.30)

   Все три формулы в (3.30) можно объединить в одну, введя векторный оператор импульса  , который с учетом (3.30) запишется как

    

.

(3.31)

     Здесь

    

.

5. Оператор энергии(гамильтониан)

Операторы энергий. Классическая формула связи кинетической энергии частицы с квадратом ее импульса

    

     позволяет записать аналогичное соотношение между соответствующими операторами. Поэтому

     

.

(3.37)

      Если частица движется в стационарном силовом поле, и ее потенциальная энергия   определена в любой точке пространства, то оператор потенциальной энергии   определяется как оператор умножения на функцию  , то есть

     

.

(3.38)

      Так как полная энергия частицы в классической механике есть сумма кинетической и потенциальной энергий, то в квантовой механике оператор полной энергии   определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной энергий. Поэтому

     

.

   Раскрывая выражение для оператора квадрата импульса по формуле (3.33), запишем оператор полной энергии как

     

.

(3.39)

     В классической механике полную энергию частицы, выраженную через ее координаты и импульс, называют функцией Гамильтона. Поэтому в квантовой механике оператор полной энергии   называют оператором функции Гамильтона или просто гамильтонианом.

      Гамильтониан   является основным оператором квантовой механики, поскольку, выбирая конкретный вид гамильтониана, с учетом силового поля, действующего на частицу, мы формулируем на математическом языке все особенности квантовой системы. Поэтому и основное уравнение нерелятивистской квантовой механики - уравнение Шредингера (3.8) может быть записано в операторной форме

     

,

(3.40)

   содержащей гамильтониан  .

6. Что такое собственный функции и значения оператора физической величины?

Пусть A — некоторая физическая величина, характеризующая микрочастицу¹. (¹Напомним читателю, что пока речь идет о квантовых состояниях и физических величинах, характеризующих одну микрочастицу. Однако все основные выводы переносятся на системы, состоящие из произвольного числа микрочастиц.)

Как уже отмечалось, многократные измерения этой физической величины в произвольном квантовом состоянии будут давать, вообще говоря, различные значения. В квантовой механике возможные значения физической величины принято называть ее собственными значениями. Вся совокупность собственных значений называется спектром значений физической величины. Если собственные значения образуют дискретный набор, то говорят, что физическая величина имеет дискретный спектр значений (или, для краткости, просто “дискретный спектр”). В этом случае разность любых двух собственных значений имеет конечную величину. Если же собственные значения непрерывно заполняют некоторый интервал, то спектр физической величины называется непрерывным. Простейшим примером непрерывного спектра является спектр значений любой координаты частицы (скажем, координаты x). Наконец, встречаются ситуации, когда физическая величина обладает в одной области своих значений дискретным спектром, а в другой — непрерывным.

Результатами измерения физической величины являются ее собственные значения. Поэтому одна из основных задач квантовой механики состоит в нахождении спектра значений любой физической величины.

Уравнение для собственных функций

Рассмотрим некоторую физическую величину (или, что то же самое, динамическую переменную) A, которой соответствует эрмитовый оператор . Будем считать, что спектр ее собственных значений — дискретный. Пусть A_n — собственные значения данной физической величины. Согласно постулату об измерении динамических переменных (см. стр. 26), в произвольном квантовом состоянии измерения будут давать значения A_n с некоторыми вероятностями. Поставим следующие вопросы:

1. Существует ли такое квантовое состояние, в котором многократные измерения данной физической величины дают одно и то же собственное значение A_n?

2. Если такое квантовое состояние существует, то как найти соответствующую волновую функцию?

3. Как найти вероятности появлений собственных значений данной физической величины при ее многократном измерении в произвольном квантовом состоянии?

Квантовое состояние, в котором многократные измерения физической величины A всегда дают значение A_n, называется собственным состоянием, отвечающим этому значению, а соответствующая волновая функция называется собственной волновой функцией (или просто собственной функцией). Cобственные функции физических величин будем обозначать строчной буквой , чтобы подчеркнуть, что эти функции зависят от координат частицы, но не зависят от времени. Заглавной буквой будут обозначаться волновые функции частицы, зависящие от времени и удовлетворяющие уравнению Шредингера (3.3).

• Покажем, что собственные функции любой физической величины находятся как решения уравнения

где A — постоянная. Собственные значения A_n физической величины есть те значения постоянной A, при которых уравнение (5.1) имеет решения ψ_n, удовлетворяющие требуемым условиям¹.

(¹Собственные функции должны быть непрерывными и однозначными. Для некоторых динамических переменных собственные функции должны быть периодическими. В других случаях необходимо потребовать, чтобы любая собственная функция стремилась к нулю на бесконечности. Подчеркнем, что дополнительные условия, которым должны удовлетворять собственные функции, формулируются, исходя из физического смысла динамической переменной.)

Предположим, что является решением уравнения (5.1), т. е.

Предположим также, что ψ_n нормирована на единицу [см. (2.25)]

Вычислим среднее значение физической величины в этом состоянии:

Мы видим, что . Это, однако, еще не означает, что в состоянии многократные измерения будут всегда давать значение A_n. Нужно также убедиться, что квантовая неопределенность данной физической величины в состоянии равна нулю. Вспоминая формулу (4.21)

, запишем

Мы доказали, что если волновая функция удовлетворяет уравнению (5.2), то в этом состоянии физическая величина A имеет определенное значение A_n. Можно доказать и обратное утверждение: если физическая величина в состоянии с волновой функцией имеет определенное значение A_n, то эта волновая функция удовлетворяет уравнению (5.2). Предлагаем читателю попытаться самостоятельно построить соответствующее доказательство.

Итак, спектр любой динамической переменной A^ˆ и собственные волновые функции можно найти, решив уравнение (5.1), которое, таким образом, играет исключительно важную роль в квантовой механике.

Из приведенных выше рассуждений следуют важные выводы, относящиеся к стационарным состояниям частицы и уравнению Шредингера (3.15)

для этих состояний:

В стационарном состоянии энергия имеет точное значение E.

Собственные значения гамильтониана частицы в заданном внешнем поле .образуют спектр значений энергии

В самом деле, стационарное уравнение Шредингера (3.15) есть частный случай общего уравнения (5.1) для собственных функций. Роль оператора играет гамильтониан — оператор энергии.

Операторы физических величин

Операторы можно складывать и умножать на число и друг на друга. Если для любой функции u выполняются соотношения

тогда оператор S^ˆ – есть сумма операторов A^ˆ и B^ˆ :

оператор F^ˆ – есть произведение оператора A^ˆ на число k:

а оператор P^ˆ – есть произведение операторов A^ˆ и B^ˆ :

Сумма операторов и умножение оператора на число ведут себя аналогично сумме и произведению обычных чисел – выполняются свойства коммутативности, дистрибутивности и т.д. Произведение операторов, напротив, в общем случае не коммутативно, то есть существуют операторы A^ˆ и B^ˆ , для которых:

Операторы A^ˆ и B^ˆ называются коммутирующими, если их произведение не зависит от порядка сомножителей:

Если для операторов A^ˆ и B^ˆ выполняется равенство:

то такие операторы называют антикоммутирующими.

Коммутатор [ A^ˆ, B^ˆ ] двух операторов A^ˆ и B^ˆ определяется следующим выражением:

Приведем повторно вид основных операторов квантовой механики:

Оператор координаты x:

который является оператором умножения на число x. Соответственно оператор радиус-вектора:

Оператор проекции импульса

Оператор вектора импульса:

Оператор квадрата импульса: