8. Формула для среднего значения физической величины в состоянии с волновой функцией ψ.

9. Уравнение Шредингера- общее, стационарное и одномерное для одной частицы.

Частица в одномерной потенциальной яме. Математический аппарат квантовой механики изучается в курсах теоретической физики. Число задач, в которых уравнение Шрёдингера решается точно, невелико. В большинстве случаев решения приближённые.

Самая простая задача о движении частицы в одномерной потенциальной яме рассматривается здесь для того, чтобы познакомиться с основами квантовой механики и убедиться в том, что условия квантования энергии заложены в самом уравнении Шрёдингера.

Потенциальной ямой называется область пространства, где потенциальная энергия частицы U существенно меньше, чем вне этого пространства. Наиболее простой является модель бесконечно глубокой потенциальной ямы. Она может задаваться двумя способами. В одном случае энергия частицы U за пределами ямы принимается равной нулю, U_вне = 0, внутри – принимается равной минус бесконечности, U_внутри = -∞. У такой ямы нет дна.

В другом случае у потенциальной ямы есть дно. Потенциальная энергия частицы U внутри ямы принимается равной нулю, U_внутри = 0, а за пределами ямы стремится к плюс бесконечности, U_вне = + ∞. Здесь мы ограничимся этим вторым представлением, поскольку уравнение Шредингера получается проще, и поставленная задача решается быстрее.

Рассмотрим состояние частицы в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме (Рис.15). Это значит, что потенциальная энергия U частицы удовлетворяет условиям:

(4.4)

Здесь l – ширина потенциальной ямы вдоль оси ОХ. Так как в задаче нет изменяющихся во времени силовых полей, то она соответствует уравнению Шрёдингера для стационарных состояний (4.2). В декартовых координатах, в которых составлена задача, выражение ∆y имеет вид:

. (4.5)

Задача одномерная, члены, содержащие переменные y и z, выпадают. Уравнение (4.2 уравнение Шреденгера для стационарного состояния ) упрощается. (Напомним, что в яме U = 0).

. или . (4.6)

Стенки ямы непроницаемы для частицы. Выйти за пределы ямы она не может. Отсюда следуют граничные условия для волновой функции y :

(4.7)

Обозначим коэффициент Тогда (4.8)

Это уравнение напоминает уравнение движения незатухающего гармонического осциллятора. Разница в том, что в осцилляторе независимая переменная – время t, а здесь– координата x. Решение уравнения (4.8) имеет вид:

10. Что такое «стационарное состояние»?

Стационарным состоянием (от лат. stationarius — стоящий на месте, неподвижный) называется состояние квантовой системы, при котором её энергия и другие динамические величины, характеризующие квантовое состояние, не изменяются. ( В квантовой физике стационарным состоянием атома называют состояние, при котором оно имеет постоянную энергию.)

11. Коммутатор двух операторов

В квантовой механике важную роль играет коммутатор двух операторов динамических переменных, который обозначается символов

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

.

[A, B] ≡ AB

− BA

Коммутатор обладает свойствами:

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

[A, A] = 0,

[A, B] = − [B, A]

ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

[A, B+ C] = [A, B] + [A, C]

ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

[A, BC] = [A, B] C+ B[A, C]

\ ˆ ˆ ˆ ˆ Если [A, B] = 0, т. е. для любой функции Ψ выполняется равенство [A, B]Ψ = 0
то говорят, что операторы A	и B коммутируют друг с другом.

Операторы координат частицы xˆ=x, yˆ=y, zˆ=z коммутируют друг с другом. Очевидно, что любой оператор проекции импульса коммутирует с любым другим оператором проекции импульса, так как вычисление частных производных можно проводить в любом порядке. Кроме того, каждый из операторов координат коммутирует с оператором «чужой» проекции импульса, т. е.

[ˆx, pˆy] = [ˆx, pˆz ] = 0, [ˆy, pˆx] = [ˆy, pˆz ] = 0, [ˆz, pˆx] = [ˆz, pˆy] = 0

Если взять пары операторов xˆ и pˆx, yˆ и pˆy, zˆ иpˆz , то обнаружиться,

что их коммутаторы не равны нулю.

Таким образом, аналогичные формулы для других проекций, находим

[ˆx, pˆx] = i ,[ˆy, pˆy] = i ,[ˆz, pˆz ] = i .

В данном случае коммутаторы являются числами. Строго говоря, коммутатор всегда является оператором.

Поэтому в формулах следовало бы писать— единичный оператор, действующий на любую функцию Ψ, где 1 - единичный оператор, действующий на любую функцию Ψ, по правилу 1Ψ = Ψ

Для упрощения формул единичный оператор почти всегда явно не выписывается.

Приведем важный пример, показывающий, что коммутатор двух операторов динамических переменных может выражаться через оператор третьей динамической переменной. Вспоминая определение операторов проекций момента импульса частицы получается

ˆ	ˆ	ˆ	,	ˆ	ˆ	ˆ	,	ˆ	ˆ	ˆ
[Lx	, Ly	] = i Lz		[Ly	, Lz	] = i Lx		[Lz	, Lx	] = i Ly.

Эти три коммутатора можно кратко записать в виде одного векторного равенства

	ˆ	ˆ	ˆ
	L	× L = i L .
								;