13. Оператор момента импульса

Моментом импульса называется векторная величина, характеризующая инерционные свойства объекта, осуществляющего вращательное движение относительно определенной точки (начала координат).  Определение  Моментом импульса материальной точки относительно начала координат в классической механике есть величина, равная векторному произведению радиус-вектора на ее импульс.  Соответственно,  В системе из многих материальных точек, то момент импульса начала координат является суммой (интегралом) всех моментов импульса составляющих системы.  Для многих практических задач, которые изучают свойства объекта, вращающегося вокруг определенной оси, достаточно проанализировать скалярное значение момента импульса, который является положительным, если вращение происходит против часовой стрелки и отрицательным, если наоборот.  Согласно определению векторного произведения векторов, скаляр момента импульса определяется как:  где ? r, p – угол между r и p, измеренный от r к p; такой порядок обхода векторов при определении угла является принципиальным. Если порядок изменить на обратный, изменится и знак.  Для тела постоянной массы, которое вращается вокруг фиксированной оси, момент импульса можно определить как произведение момента инерции тела относительно этой оси на его угловую скорость:  где I – момент инерции частицы, ? – вектор угловой скорости.  Момент импульса – одна из физических величин, для которой существует фундаментальный закон сохранения. Назовем замкнутой (в смысле вращения) такую систему, для которой сумма моментов внешних сил M равна нулю. Для такой системы  и  .  То есть, в замкнутой системе момент импульса сохраняется неизменным. Как следует из теоремы Нетер, такое утверждение является следствием изотропности (т.е. равноценности всех направлений) пространства.  Подробнее в статье Оператор углового момента  В квантовой механике момент импульса определяется не как физическая величина, а как оператор над вектором состояния.  Оператор момента импульса имеет вид:  где r и p – операторы радиус-вектора и импульса системы. Для свободной частицы без спина и электрического заряда, оператор момента импульса может быть приведен в следующей форме:  , Где  – Оператор Гамильтона.  Отдельные компоненты оператора момента импульса коммутируют между собой. Вследствие этого их невозможно определить одновременно. Подробнее смотри в статье оператор углового момента. 

18. Водородоподобный атом

ВОДОРОДОПОДОБНЫЙ АТОМ

квантовомеханическая система, состоящая из ядра массы Мсзарядом +Ze и одного электрона массы тс зарядом - е, взаимодействующих по закону Кулона, т. е.притягивающихся друг к другу с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ядром иэлектроном. В частном случае при Z=1, когда ядром является протон, В. а. - обычный атом водорода. К В. а.можно отнести мезоатом (m-мезон в кулоновском поле ядра) и позитроний (система, состоящая изэлектрона и позитрона). Задача о В. а.- точно решаемый пример общей задачи двух тел в механике (как вклассической, так и в квантовой) и является квантовомеханич. аналогом клас-сич. проблемы Кеплера втеории движения двух масс под действием сил всемирного тяготения. После выделения движения центраинерции квантовомеханич. задача о В. а. сводится в нерелятивистском приближении к решению Шрёдингерауравнения для частицы с приведенной массой   , движущейся в ноле центральныхсил с кулоновским потенциалом:

Удовлетворяющие физич. условиям ограниченности волновых функций   решения (*) существуют: а)при   и целом   (дискретный спектр энергий Е);б) при любом Е>0(непрерывный спектр энергий). Решения, принадлежащие дискретному спектру, соответствуютстационарным связанным состояниям электрона в В. а. и обладают так наз. "случайным вырождением", т. е.состояния с различными квантованными значениями орбитального момента l= 0, 1, 2, ..., n-1, а не только егопроекции   на нек-рую ось (обычное вырождение), обладаютодинаковой энергией  . "Случайное вырождение" является следствием того, что в частном случаекулоновского потенциала уравнение Шрёдингера (*) инвариантно не только относительно группыортогональных преобразований О(3), что справедливо для любого потенциала центральных сил, но потносительно преобразований более широкой группы О(4). Решения непрерывного спектра соответствуютионизованным состояниям В. а., т. е. несвязанным состояниям электрона, п вырождены с бесконечнойкратностью -возможны состояния со всеми целыми значениями   и всеми целыми значениями   приданном 

Релятивистские эффекты в В. а.: зависимость массы от скорости и спиновые свойства электрона и ядра,можно учесть при использовании вместо уравнения Шрёдингера (*) релятивистского Дирака уравнения дляэлектрона в поле кулоновского потенциала ядра.

Учет релятивистских эффектов и спина электрона дает поправки к Е _n, к-рые зависят от lи полного момента jэлектрона, определяемого через lи спин электрона, и тем самым снимает случайное вырождение уровнейэнергии В. а. и определяет так наз. тонкую структуру дискретного спектра уровней энергии В. а. Учет спинаядра и связанного с ним магнитного момента, взаимодействующего с движущимся вокруг ядра электроном, атакже учет конечных размеров ядра и возможного квадру-польного момента и других высших мультипольныхмоментов ядра дает дополнительные поправки к Е _n, определяющие так наз. сверхтонкую структуру уровнейэнергии В. а.

В первой же работе Э. Шредингера по волновой механике им были найдены волновые функции стационарных состояний атома с одним электроном и был получен энергетический спектр, который в точности совпал с результатом теории Бора. Это было важным достижением, так как квантование энергии атома естественным образом следовало из общих принципов квантовой механики без введения дополнительного квантового условия, которое в теории Бора используется вместе с классическим уравнением движения электрона. Спектр энергии водородоподобного атома

Применим теперь результаты исследования стационарных состояний частицы

вцентральном силовом поле к частному, но важному случаю движения электрона

вкулоновском поле атомного ядра. Напомним, что атомы с одним электроном называются водородоподобными атомами. К ним относится непосредственно атом водорода, ядро которого имеет заряд q =e, а также ионы более тяжелых атомов: однократно ионизованный атом гелия He+ (q = 2e), двукратно ионизованный атом лития Li++ (q = 3e) и т. д. В общем случае мы должны рассмотреть движение электрона в кулоновском поле точечного положительного зарядаq =Ze, гдеZ — порядковый номер элемента в таблице Менделеева. Потенциальная энергия электрона в таком поле имеет вид (в системе единиц СИ)

U (r) =−	Ze2	(9.14)
	4πε0r.

Для упрощения формул введем обозначение

qe2=	e2			(9.15)
		.
	4πε0

Тогда выражение (9.14) для потенциальной энергии запишется так:

U (r) =−	Zq2	(9.16)
	r e .

Мы уже выяснили, что уровни энергии электрона находятся из уравнения (9.9) для радиальной части волновой функции. В данном случае оно имеет вид

1 d

r2

dR

−

l(l + 1)

2m

E +

Zq2

R = 0,

(9.17)

R +

e

e

r2 dr

dr

r2

2

r

где, как обычно, me — масса электрона. Нас интересуют не произвольные решения уравнения (9.17), а только те, которые имеют физический смысл.Во-первых,функцияR(r) должна быть однозначна, непрерывна и должна принимать конечные значения при любых значениях аргументаr. Далее, если волновая функция (9.8) описываетсвязанное состояниеэлектрона в атоме, тоR(r) должна стремиться к нулю приr → ∞.

Как и предыдущем параграфе, где речь шла о произвольном центральном поле, для исследования уравнения (9.17) удобно сделать подстановку (9.10). Тогда, учитывая явное выражение для потенциальной энергии электрона в кулоновском поле ядра, приходим к уравнению

d2χ	+	2m	E +	Zq2	−	l	l + 1)		χ = 0.
		e		e		(				(9.18)
dr2		2		r			r2