13. Соотношение неопределенной Гейзенберга.

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой механике — фундаментальное соображение (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих систему квантовых наблюдаемых, описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля).

Более доступно он звучит так: чем точнее измеряется одна характеристика частицы, тем менее точно можно измерить вторую. Соотношение неопределённостей даёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых.

Соотношения неопределенностей Гайзенберга в свое время сыграли важную роль в осмыслении квантовой механики. Из них, в частности, следует, что движение микрочастицы нельзя представлять себе как движение по траектории. В самом деле, для существования траектории необходимо, чтобы в каждый момент времени частица имела определенные радиус-векторr и скоростьv =p/m. Другим словами, необходимо, чтобы неопределенности координат и проекций скорости в одном и том же состоянии были равны нулю.

Теперь мы докажем одну важную теорему о квантовых неопределенностях физических величин. Предположим, что частица находится в некотором квантовом состоянии Ψ и рассмотрим две произвольные динамические переменные, которым

соответствуют эрмитовые операторы ˆ иˆ. В общем случае коммутатор этих

A B

операторов можно записать в виде

				ˆ ˆ ˆ				(4.22)
				[A, B] = iC,
где Cˆ — новый (эрмитовый) оператор1. В самом деле, вычисляя [A,ˆ Bˆ]† и учитывая,
ˆ	ˆ
что операторы A	и B эрмитовые, получаем
	[A,ˆ Bˆ]† ≡ ABˆ ˆ − BAˆ ˆ † = BAˆ ˆ − ABˆ ˆ = −[A,ˆ Bˆ].
	ˆ	ˆ	ˆ	— эрмитовый оператор.
Отсюда следует, что C = [A, B]/i
ˆ Так как операторы		ˆ	ˆ	ˆ		ˆ		ˆ
		∆A и ∆B получаются изA				и B		вычитанием чисел A и

B , то их коммутатор совпадает с (4.22) (проверьте!), т. е.

ˆ ˆ ˆ

[∆A, ∆B] =iC.

Введем вспомогательный интеграл

I(λ) =	(λ ∆Aˆ +i∆Bˆ)Ψ		2	dV,

который зависит от произвольного действительного параметра λ. Поскольку подынтегральная функция всегда неотрицательна, тоI(λ)≥ 0 при любом

1В частности,ˆ может быть просто действительным числом [см., например, (4.16)].

C

значении λ. Интеграл (4.24) можно преобразовать следующим образом:

I(λ) =		(λ∆Aˆ − i∆Bˆ )Ψ	(λ ∆Aˆ +i∆Bˆ)ΨdV =

ˆ − ˆ ˆ ˆ

=Ψ (λ ∆A i∆B)(λ ∆A +i∆B) ΨdV =

2 ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ

= Ψ λ (∆A) + (∆B) +iλ[∆A, ∆B] ΨdV.

Во второй строке мы “перебросили” действие операторов на Ψ с помощью опера-

			ˆ		ˆ
ции транспонирования [см. (4.4)] и учли, что ∆A и ∆B — эрмитовые операторы.
Вспоминая теперь формулы (4.20) и (4.23), находим					≥ 0.
I(λ) =λ	(∆A)		− λ C + (∆B)			(4.25)
2		2	ˆ	2

Как известно из элементарной математики, для того, чтобы при любом значении λ выражение (aλ2 − bλ +c) было неотрицательным, его дискриминант должен удовлетворять условию (b2 − 4ac)≤ 0. Применив это условие к (4.25), получаем неравенство

1
∆A∆B ≥		Cˆ		,	(4.26)
	2

которое называется соотношением неопределенностей для физических величин A иB. Наиболее интересные следствия из неравенства (4.26) получаются для координат частицыx,y,z и соответствующих проекций импульса. Используя выражения (4.16) для коммутаторов, находим, что

∆x∆px ≥	1	,	∆y∆py ≥	1		,	∆z∆pz ≥	1		.	(4.27)
	2			2				2

Таким образом, не существует квантовых состояний, в которых неопределенности координаты и проекции скорости обе равны нулю. В этом смысле нельзя предполагать, что движение частицы происходит по траектории. Заметим также, что неравенство (4.28) объясняет тот факт, что квантовые эффекты не проявляются у макроскопических тел.

13. В чем заключается туннельный эффект? Прохождение частицы через потенциальный барьер (туннелирование), преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия(остающаяся при Т. э. большей частью неизменной) меньше высоты барьера. Т. э.— явление существенноквант. природы, невозможное в классич. механике; аналогом Т. э. в волн. оптике может служитьпроникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояния порядка длины световой волны) вусловиях, когда с точки зрения геом. оптики происходит полное внутреннее отражение. Т. э. лежит в основемн. важных процессов в ат. и мол. физике, в физике ат. ядра, тв. тела и т. д.Т. э. интерпретируется на основе неопределённостей соотношения (см. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА). Классич.ч-ца не может находиться внутри потенц. барьера высоты V, если её энергия ?импульс р — мнимойвеличиной (m — масса ч-цы). Однако для микрочастицы этот вывод несправедлив: вследствие соотношениянеопределённостей фиксация ч-цы в пространств. области внутри барьера делает неопределённым еёимпульс. Поэтому имеется отличная от нуля вероятность обнаружить микрочастицу внутри запрещённой сточки зрения классич. механики области. Соответственно появляется определ. вероятность прохождения ч-цы сквозь потенц. барьер, что и отвечает Т. э. Эта вероятность тем больше, чем меньше масса ч-цы, чем ужепотенц. барьер и чем меньше энергии недостаёт ч-це, чтобы достичь высоты барьера (чем меньше разностьV-?). Вероятность прохождения сквозь барьер — гл. фактор, определяющий физ. хар-ки Т. э. В случаеодномерного потенц. барьера такой хар-кой служит коэфф. прозрачности барьера, равный отношениюпотока прошедших сквозь него ч-ц к падающему на барьер потоку. В случае трёхмерного барьера,ограничивающего замкнутую область пр-ва с пониж. потенц. энергией (потенциальную яму), Т. э.характеризуется вероятностью w выхода ч-цы из этой области в ед. времени; величина w равнапроизведению частоты колебаний ч-цы внутри потенц. ямы на вероятность прохождения сквозь барьер.Возможность «просачивания» наружу ч-цы, первоначально находившейся в потенц. яме, приводит к тому,что соответствующие уровни энергии ч-ц приобретают конечную ширину порядка ћw, а сами эти состояниястановятся квазистационарными.

Примером проявления Т. э. в ат. физике могут служить автоионизация атома в сильном электрич. поле иионизация атома в поле сильной эл.-магн. волны. Т. э. лежит в основе альфа-распада радиоактивных ядер.Без Т. э. было бы невозможно протекание термоядерных реакций: кулоновский потенц. барьер,препятствующий необходимому для синтеза сближению ядер-реагентов, преодолевается частичноблагодаря высокой скорости (высокой темп-ре) таких ядер, а частично благодаря Т. э. Особенномногочисленны примеры проявления Т. э. в физике тв. тела: автоэлектронная эмиссия, явления вконтактном слое на границе двух ПП, Джозефсона эффект и т. д.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983.

ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ

(туннелирование) - квантовый переход системы через область движения, запрещённую классич. механикой.Типичный пример такого процесса- прохождение частицы через потенциальный барьер, когда её энергия   меньше высоты барьера. Импульс частицы р в этом случае, определяемый из соотношения   где U(x)- потенц. энергия частицы ( т - масса), был бы в области внутри барьера,  мнимой величиной. В квантовой механике благодаря неопределённостей соотношениюмежду импульсом и координатой подбарьерное движение оказывается возможным. Волновая ф-ция частицыв этой области экспоненциально затухает, и в квазиклассич. случае (см. Квазиклассическое приближение )еёамплитуда в точке выхода из-под барьера мала.

Одна из постановок задач о прохождении потенц. барьера соответствует случаю, когда на барьер падаетстационарный поток частиц и требуется найти величину прошедшего потока. Для таких задач вводится коэф.прозрачности барьера (коэф. туннельного перехода) D, равный отношению интенсивностей прошедшего ипадающего потоков. Из обратимости по времени следует, что коэф. прозрачности для переходов в "прямом"и обратном направлениях одинаковы. В одномерном случае коэф. прозрачности может быть записан в виде 

интегрирование проводится по классически недоступной области, х_1,2 - точки поворота, определяемые изусловия   В точках поворота в пределе классич. механики импульс частицы обращается в нуль.Коэф. D₀ требует для своего определения точного решения кван-тово-механич. задачи.

При выполнении условия квазиклассичности 

на всём протяжении барьера, за исключением непосредств. окрестностей точек поворота x_1,2. коэф. D₀ слабоотличается от единицы. Существ. отличие D₀ от единицы может быть, напр., в тех случаях, когда криваяпотенц. энергии с одной из сторон барьера идёт настолько круто, что квазиклассич. приближение тамнеприменимо, или когда энергия близка к высоте барьера (т. е. выражение, стоящее в экспоненте, мало).Для прямоугольного барьера высотой U _о и шириной а коэф. прозрачности определяется ф-лой  где 

Основание барьера соответствует нулевой энергии. В квазиклассич. случае D мал по сравнению с единицей.Др. постановка задачи о прохождении частицы через барьер состоит в следующем. Пусть частица в нач.момент времени находится в состоянии, близком к т. н. стационарному состоянию, к-рое получилось бы принепроницаемом барьере (напр., при барьере, приподнятом вдали от потенциальной ямы на высоту,большую энергии вылетающей частицы). Такое состояние наз. квазистационарным. Аналогичностационарным состояниям зависимость волновой ф-ции частицы от времени даётся в этом случаемножителем   В качестве энергии здесь фигурирует комплексная величина Е, мнимая часть к-рой определяет вероятность распада квазистационарного состояния в единицу времени за счёт Т. э

В квазиклассич. приближении вероятность, даваемая ф-лой (3), содержит экспоненц. множитель того жетипа, что и в-ф-ле (1). В случае сферически симметричного потенц. барьера вероятность распадаквазистационарного состояния с орбит. квантовым числом l определяется ф-лой 

Здесь r_1,2 -радиальные точки поворота, подынтегральное выражение в к-рых равно нулю. Множитель w₀зависит от характера движения в классически разрешённой части потенциала, напр. он пропорц. классич.частоте колебаний частицы между стенками барьера.

Т. э. позволяет понять механизм a-распада тяжёлых ядер. Между   -частицей и дочерним ядром действуетэлек-тростатич. отталкивание, определяемое ф-лой   На малых расстояниях порядка размера аядра ядерные силы таковы, что эфф. потенциал можно считать отрицательным:   В результатевероятность а -распада даётся соотношением 

Здесь   -энергия вылетающей a-частицы.

Т. э. обусловливает возможность протекания термоядерных реакций на Солнце и звёздах при темп-ре вдесятки и сотни млн. градусов (см. Эволюция звёзд), а также в земных условиях в виде термоядерныхвзрывов или УТС.

В симметричном потенциале, состоящем из двух одинаковых ям, разделённых слабопроницаемымбарьером, Т. э. приводит к интерференции состояний в ямах, что приводит к слабому двойномурасщеплению дискретных уровней энергии (т. н. инверсионное расщепление; см. Молекулярные спектры).Для бесконечного периодичного в пространстве набора ям каждый уровень превращается в зону энергий.Таков механизм образования узких электронных энергетич. зон в кристаллах с сильной связью электронов сузлами решётки.

Если к полупроводниковому кристаллу приложено элек-трич. поле, то зоны разрешённых энергий электроновстановятся наклонными в пространстве. Тем самым уровень пост. энергии электрона пересекает все зоны. Вэтих условиях становится возможным переход электрона из одной энергетич. зоны в другую за счёт Т. э.Классически недоступной областью при этом является зона запрещённых энергий. Это явление наз.пробоем Зинера. Квазиклассич. приближение отвечает здесь малой величине напряжённости электрич. поля.В этом пределе вероятность пробоя Зинера определяется в осн. экспонентой, в показателе к-рой стоитбольшая отрицат. величина, пропорциональная отношению ширины запрещённой энергетич. зоны к энергии,набираемой электроном в приложенном поле на расстоянии, равном размеру элементарной ячейки.

Похожий эффект проявляется в туннельных диодах, в к-рых зоны наклонены благодаря полупроводникам р-и n -типа по обе стороны от границы их соприкосновения. Туннелирование осуществляется благодаря тому,что в зоне, куда переходит носитель заряда, имеется конечная плотность незанятых состояний.

Благодаря Т. э. возможен электрич. ток между двумя металлами, разделёнными тонкой диэлектрич.перегородкой. Эти металлы могут находиться как в нормальном, так и в сверхпроводящем состоянии. Впоследнем случае может иметь место Джозефсона эффект.

Т. э. обязаны такие явления, происходящие в сильных электрич. полях, как автоионизация атомов (см.Ионизация полем )и автоэлектронная эмиссия из металлов. В обоих случаях электрич. поле образуетбарьер конечной прозрачности. Чем сильнее электрич. поле, тем прозрачнее барьер и тем сильнееэлектронный ток из металла. На этом принципе основан сканирующий туннельный микроскоп - прибор,измеряющий туннельный ток из разных точек исследуемой поверхности и дающий информацию о характерееё неоднородности.

Т. э. возможен не только в квантовых системах, состоящих из одной частицы. Так, напр., низкотемпературноедвижение дислокаций в кристаллах может быть связано с туннелированием конечной части дислокации,состоящей из многих частиц. В такого рода задачах линейную дислокацию можно представить как упругуюструну, лежащую первоначально вдоль оси у в одном из локальных минимумов потенциала V(x, у). Этотпотенциал не зависит от у, а его рельеф вдоль оси х представляет собой последовательность локальныхминимумов, каждый из к-рых находится ниже другого на величину, зависящую от приложенного к кристаллумеханич. напряжения. Движение дислокации под действием этого напряжения сводится к туннелированию всоседний минимум определ. отрезка дислокации с последующим подтягиванием туда оставшейся её части.Такого же рода туннельный механизм может отвечать за движение волн зарядовой плотности вдиэлектрике Пайерлса (см. Пайерлса переход).

Для расчётов эффектов туннелирования таких многоразмерных квантовых систем удобно использоватьквазиклассич. представление волновой ф-ции в виде   где S- классич. действие системы. ДляТ. э. существенна мнимая часть S, определяющая затухание волновой ф-ции в классически недоступнойобласти. Для её вычисления используется метод комплексных траекторий.

Квантовая частица, преодолевающая потенц. барьер, может быть связана с термостатом. В классич.механике это соответствует движению с трением. Тем самым, для описания туннелирования необходимопривлечение теории, получившей назв. диссипативной квантовой механики. Такого рода соображениянеобходимо использовать для объяснения конечного времени жизни токовых состояний контактовДжозефсона. В этом случае происходит туннелирование эфф. квантовой частицы через барьер, а рольтермостата играют нормальные электроны.