Вопросы для самопроверки
1. Приведите примеры критериев оптимальности, имеющих вид функционалов.
2. Приведите примеры задач, сводящихся к вариационным задачам.
3. Как ставится задача оптимального управления?
4. Дайте формулировку основной задачи вариационного исчисления. Какова ее геометрическая интерпретация?
5. Каков вид уравнения Эйлера?
6. Сформулируйте вариационную задачу на условный экстремум.
7. Какой вид имеет уравнение Эйлера–Пуассона? Каковы его отличия от уравнения Эйлера?
8. Запишите уравнение Эйлера в форме Гамильтона.
9. В чем заключается метод неопределенных множителей Лагранжа при решении задач вариационного исчисления на условный экстремум?
10. Каковы могут быть ограничения (связи) в задачах на условный экстремум?
11. Сформулируйте задачу об оптимальном управлении двигателем и рассмотрите примеры ее решения.
12. Сформулируйте постановку вариационной задачи с подвижными границами.
13. Запишите условия трансверсальности.
14. Сформулируйте вариационную задачу на безусловный экстремум для решетчатых функций, запишите уравнения Эйлера.
15. Сформулируйте вариационную задачу на безусловный экстремум для решетчатых функций, запишите уравнения Эйлера–Лагранжа.
16. Дайте формулировку принципу оптимальности.
17. Запишите функциональное уравнение метода динамического программирования Р. Беллмана.
18. Приведите основные соотношения принципа максимума.
19. Приведите постановку задачи АКОР для линейных систем.
20. Приведите процедуру АКОР.
21. Приведите оценки точности и качества переходных процессов систем управления.
22. Каковы структура и параметры функционала оптимизации при использовании процедуры АКОР?
2. Контрольные задания
По дисциплине предусмотрено выполнение одной контрольной работы, состоящей из трех задач.
В первой и второй задачах предлагается разработать алгоритмы изменения режима работы электрической схемы, содержащей активные и реактивные элементы, обеспечивающие минимизацию активных потерь при переходе от одного режима работы схемы к другому. Необходимо определить вид закона изменения ЭДС источника питания (управляющего воздействия) и проанализировать работу схемы при действии этой ЭДС.
В третьей задаче нужно построить закон оптимального управления двигателем постоянного тока при минимизации энергии потерь (управление в виде обратной связи). Поставленная задача должна быть решена различными способами.
Вариант контрольной работы задается преподавателем на установочной сессии.
ЗАДАЧА 1
Для электрической схемы, содержащей источник питания e(t), активные сопротивления r, R и индуктивность L (рис.1), необходимо:
а)
определить оптимальный закон изменения
напряжения источника питания
,
приводящий
к изменению тока через сопротивление
R
и
индуктивность L
в схеме от
заданного начального значения
до заданного конечного значения
,
чтобы суммарная энергия активных потерь
(затрачиваемая на нагрев) при этом
изменении была минимальной;
Рис. 1
б)
определить оптимальный закон изменения
тока
,
соответствующий оптимальному закону
изменения
;
в)
вычислить энергию активных потерь в
схеме при оптимальном режиме изменения
напряжения и тока (
,
)
и сравнить ее с энергией активных потерь,
затрачиваемой на нагрев, при линейном
изменении тока в схеме от начального
значения до конечного значения;
г) построить графики оптимальных и линейных изменений ЭДС и токов.
Значения параметров элементов схемы приведены в табл. 1.
Таблица 1
Номер варианта |
r, Ом |
R, Ом |
L, Гн |
i(t0), А |
i(t1), А |
1 |
5 |
50 |
0,015 |
0,1 |
0,7 |
2 |
6 |
60 |
0,016 |
0,2 |
0,8 |
3 |
7 |
70 |
0,02 |
0,3 |
0,9 |
4 |
8 |
80 |
0,025 |
0,4 |
0,95 |
5 |
9 |
90 |
0,027 |
0,5 |
1 |
6 |
5,5 |
55 |
0,017 |
0,15 |
0,75 |
7 |
6,5 |
65 |
0,018 |
0,25 |
0,8 |
8 |
7,5 |
75 |
0,022 |
0,35 |
0,9 |
9 |
8 |
80 |
0,025 |
0,45 |
0,95 |
10 |
9,5 |
95 |
0,015 |
0,55 |
1 |
11 |
5 |
55 |
0,015 |
0,11 |
0,8 |
12 |
6 |
65 |
0,016 |
0,12 |
0,7 |
13 |
7 |
75 |
0,017 |
0,14 |
0,9 |
14 |
7,5 |
80 |
0,018 |
0,15 |
0,95 |
15 |
9 |
95 |
0,019 |
0,15 |
0,75 |
16 |
5,5 |
80 |
0,021 |
0,1 |
0,8 |
17 |
6,5 |
70 |
0,022 |
0,2 |
0,7 |
18 |
7,5 |
60 |
0,023 |
0,3 |
0,9 |
19 |
8 |
90 |
0,024 |
0,4 |
0,95 |
20 |
9,5 |
90 |
0,025 |
0,5 |
0,75 |
Окончание табл. 1
Номер варианта |
r, Ом |
R, Ом |
L, Гн |
i(t0), А |
i(t1), А |
21 |
4,5 |
45 |
0,017 |
0,15 |
0,8 |
22 |
5,5 |
50 |
0,018 |
0,2 |
0,7 |
23 |
6 |
65 |
0,02 |
0,25 |
0,9 |
24 |
7,5 |
70 |
0,025 |
0,3 |
0,75 |
25 |
7 |
80 |
0,027 |
0,35 |
1 |
Полагать
,
.
ЗАДАЧА 2
Рис. 2
Для электрической схемы, содержащей источник питания e(t), активные сопротивления r, R и емкость C (рис. 2), необходимо:
а)
определить оптимальный закон изменения
напряжения источника питания
,
приводящий к изменению напряжения на
обкладках конденсатора от заданного
начального значения
до заданного конечного
значения
,
чтобы суммарная энергия активных потерь
(затрачиваемая на нагрев) при этом
изменении была минимальной;
б)
определить оптимальный закон изменения
напряжения на обкладках конденсатора
,
соответствующий оптимальному закону
изменения
;
в)
вычислить энергию активных потерь в
схеме при оптимальном режиме изменения
и
и сравнить ее с
энергией активных потерь, затрачиваемой
на нагрев, при линейном изменении
напряжения
от
начального до конечного значения;
г) построить графики оптимальных и линейных изменений ЭДС и напряжения на конденсаторе.
Значения параметров элементов схемы приведены в табл. 2.
Таблица 2
Номер варианта |
r, Ом |
R, Ом |
С, мкФ |
uC(t0), В |
uC(t1), В |
1 |
5 |
50 |
6 |
40 |
70 |
2 |
6 |
60 |
5 |
45 |
80 |
3 |
7 |
70 |
4 |
50 |
90 |
4 |
8 |
80 |
3,5 |
40 |
95 |
5 |
9 |
90 |
3 |
35 |
75 |
6 |
5,5 |
55 |
3,5 |
35 |
70 |
7 |
6,5 |
65 |
4,5 |
40 |
80 |
8 |
7,5 |
75 |
5,5 |
45 |
75 |
9 |
7 |
80 |
6,5 |
50 |
90 |
10 |
9,5 |
95 |
3 |
55 |
95 |
11 |
5 |
55 |
3,5 |
40 |
75 |
12 |
6 |
65 |
4 |
45 |
95 |
13 |
7 |
75 |
4,5 |
50 |
90 |
14 |
7,5 |
80 |
5 |
55 |
80 |
15 |
9 |
95 |
5,5 |
30 |
70 |
16 |
5,5 |
80 |
6 |
35 |
75 |
17 |
6,5 |
70 |
6,5 |
40 |
70 |
18 |
7 |
80 |
5 |
45 |
90 |
19 |
7,5 |
70 |
6 |
50 |
95 |
20 |
6 |
65 |
4 |
55 |
80 |
21 |
4,5 |
45 |
3,5 |
30 |
70 |
22 |
9,5 |
90 |
4,5 |
40 |
75 |
23 |
8 |
95 |
3 |
50 |
90 |
24 |
7,5 |
60 |
6 |
60 |
90 |
25 |
6,5 |
75 |
5 |
50 |
95 |
Полагать
,
.
ЗАДАЧА 3
Во многих современных приборах используется диск, который должен вращаться с постоянной скоростью. Это, например, проигрыватель компакт–дисков, дисковод компьютера, требующие вращения с постоянной скоростью, несмотря на износ и изменение характеристик электродвигателя, вариацию других параметров.
Задача состоит в синтезе системы управления скоростью вращения диска, которая гарантировала бы, что действительная скорость отличается от желаемой не более чем на заданную величину.
Чтобы обеспечить вращение диска, можно в качестве исполнительного устройства выбрать электродвигатель постоянного тока, скорость вращения которого пропорциональна приложенному напряжению. Двигатель постоянного тока преобразует электрическую энергию постоянного тока в механическую энергию вращательного движения. Благодаря таким качествам, как высокий вращающий момент, возможность регулирования скорости в некотором диапазоне, компактность, хорошие нагрузочные характеристики, двигатель постоянного тока широко применяется в роботах–манипуляторах, лентопротяжных механизмах, дисководах и т.п.
Итак, ставится задача поддержания постоянной скорости вращения вала двигателя.
Пусть
в процессе работы двигателя за счет
некоторых внешних воздействий произошло
отклонение скорости вращения от ее
заданного значения, то есть появилось
отклонение
,
где
–
действительная скорость вращения,
–
заданная (программная) скорость вращения
(появилась
).
Необходимо «парировать» внешнее воздействие, то есть обеспечить возврат скорости вращения к заданной (программной), причем таким образом, чтобы суммарная энергия, затраченная на преодоление момента сопротивления и нагрев, была бы минимальной. Влиянием индуктивности в цепи якоря пренебречь. Параметры объекта заданы в табл. 3.
Решение задачи провести следующими методами:
методом вариационного исчисления;
методом динамического программирования;
на основе принципа максимума;
методом аналитического конструирования регуляторов.
Сравнить полученные результаты.
Построить
график переходного процесса
.
Параметры приведены в табл. 3.
Таблица 3
Номер варианта |
G, Н·м·c2 |
К, Н·м·А-1 |
К1, Н·м·с |
rd + rЯ, Ом |
, 1/c |
1 |
1,8·10 –5 |
3,1·10 –3 |
0,91·10 –3 |
4,5 |
11 |
2 |
2,4·10 –5 |
3,2·10 –3 |
0,92·10 –3 |
4,5 |
12 |
3 |
1,7·10 –5 |
3,3·10 –3 |
0,93·10 –3 |
4,3 |
20 |
4 |
2,3·10 –5 |
3,41·10 –3 |
0,945·10 –3 |
4,4 |
14 |
5 |
1,9·10 –5 |
3,5·10 –3 |
0,95·10 –3 |
4,5 |
55 |
6 |
2,2·10 –5 |
3,6·10 –3 |
0,96·10 –3 |
4,6 |
16 |
7 |
1,5·10 –5 |
3,7·10 –3 |
0,97·10 –3 |
4,7 |
17 |
Окончание табл. 3 |
|||||
Номер варианта |
G, Н·м·c2 |
К, Н·м·А-1 |
К1, Н·м·с |
rd + rЯ, Ом |
, 1/c |
8 |
2,5·10 –5 |
3,8·10 –3 |
0,98·10 –3 |
4,8 |
18 |
9 |
1,6·10 –5 |
3,9·10 –3 |
0,99·10 –3 |
5,5 |
19 |
10 |
2,1·10 –5 |
3·10 –3 |
0,9·10 –3 |
5 |
15 |
11 |
1,8·10 –5 |
3,1·10 –3 |
0,91·10 –3 |
4,5 |
21 |
12 |
2,4·10 –5 |
3,2·10 –3 |
0,92·10 –3 |
4 |
17 |
13 |
1,7·10 –5 |
3,3·10 –3 |
0,93·10 –3 |
4,3 |
25 |
14 |
1,7·10 –5 |
3,41·10 –3 |
0,945·10 –3 |
4,4 |
19 |
15 |
1,9·10 –5 |
3,5·10 –3 |
0,95·10 –3 |
4,5 |
40 |
16 |
2,2·10 –5 |
3,6·10 –3 |
0,96·10 –3 |
4,3 |
45 |
17 |
1,5·10 –5 |
3,7·10 –3 |
0,97·10 –3 |
4,7 |
30 |
18 |
2,5·10 –5 |
3,8·10 –3 |
0,98·10 –3 |
4,6 |
40 |
19 |
1,6·10 –5 |
3,9·10 –3 |
0,99·10 –3 |
5 |
50 |
20 |
2,1·10 –5 |
3·10 –3 |
0,9·10 –3 |
5 |
10 |
21 |
2,2·10 –5 |
3,6·10 –3 |
0,96·10 –3 |
4,6 |
25 |
22 |
1,5·10 –5 |
3,7·10 –3 |
0,97·10 –3 |
4,8 |
20 |
23 |
2,5·10 –5 |
3,8·10 –3 |
0,98·10 –3 |
4,5 |
15 |
24 |
1,6·10 –5 |
3,9·10 –3 |
0,99·10 –3 |
5 |
10 |
15 |
1,9·10 –5 |
3,5·10 –3 |
0,95·10 –3 |
5 |
25 |