3.2. Методические указания к выполнению задачи 3
1. Составление математической модели системы двигателя постоянного тока.
Уравнения механической и электрической цепей двигателя запишутся в виде:
,
(10)
,
(11)
где
G
– момент
инерции якоря с валом двигателя;
–
момент нагрузки
(момент сопротивления, который в ряде
практических задач пропорционален
скорости вращения вала двигателя:
);
k
– постоянная
по моменту тока (
–
момент вращения);
L–
индуктивность якоря;
r
–
сопротивление цепи якоря:
(
–
добавочное сопротивление,
–
сопротивление якоря);
–
коэффициент пропорциональности по ЭДС.
Упростим
модель, пренебрегая индуктивностью
цепи якоря и считая падение напряжения
на сопротивлении
значительно больше
электродвижущей силы (
).
Поэтому (11) примет вид:
.
(12)
Уравнение (10) можно представить в виде:
или
.
(13)
После
введения обозначений:
– выражение (13)
примет вид:
.
(14)
При сделанных допущениях соотношение (14) является математической моделью двигателя постоянного тока.
2. Построение (конструирование) критерия оптимальности (функционала).
По условию задачи необходимо минимизировать энергию, затраченную на преодоление момента сопротивления и на нагрев.
Запишем эту энергию как интеграл от мгновенного значения мощности.
Мощность механических потерь составляет величину:
.
Мощность энергетических потерь вычисляется по формуле:
.
Тогда мгновенное значение суммарной мощности примет вид:
.
(15)
Поэтому функционал оптимальности (величина, подлежащая минимизации), представляющий собой суммарную энергию потерь, запишется в виде:
.
(16)
После
введения обозначений
,
критерий оптимальности
запишется следующим образом:
.
(17)
3. Решение задачи.
Соотношения
(14) и (15) составляют условие задачи
оптимального стабилизирующего управления,
когда управление ищется в виде обратной
связи:
,
(18)
где
–
коэффициент обратной связи.
Решение задачи предлагается провести четырьмя методами.
Синтез регуляторов на основе метода вариационного исчисления
Метод основан на решении вариационной задачи на условный экстремум (задачи Лагранжа). Ниже приводится постановка задачи и алгоритм ее решения.
Постановка задачи.
Объект управления описывается векторно-матричным дифференциальным уравнением:
(19)
Начальное
положение объекта
.
(20)
Конечное
положение объекта
.
(21)
Критерий оптимальности, который является числовым показателем качества системы, задается в виде функционала:
.
(22)
Определить
управление
,
называемое оптимальным, переводящее
объект управления из начального положения
в конечное, и оптимальную траекторию
,
соответствующую этому управлению, на
которых функционал принимает экстремальное
значение.
Алгоритм решения задачи.
1. Составляется функция Лагранжа:
,
(23)
где
– неопределенные множители Лагранжа.
2. Записываются уравнения Эйлера-Лагранжа:
(24)
3. Из системы уравнений Эйлера-Лагранжа и уравнений объекта находятся:
,
.
Синтез регуляторов на основе метода динамического программирования
Синтез регуляторов на основе метода динамического программирования основан на функциональном уравнении метода динамического программирования, являющимся следствием принципа оптимальности Р. Беллмана.
Пусть задан объект управления, описываемый уравнениями:
.
(25)
Требуется
найти закон управления
,
(26)
чтобы на движениях системы (25), (26), возбуждаемых произвольными начальными отклонениями, минимизировался функционал
.
(27)