3. Методические указания к выполнению контрольной работы

3.1. Методические указания к выполнению задач 1,2

Весь процесс выполнения работы целесообразно разбить на 6 этапов.

1. Описание объекта управления – составление математической модели объекта управления, описывающей процессы в электрической схеме.

2. Конструирование функционала – нахождение выражения для энергии активных потерь в схеме в виде интегрального функционала.

3. Формулировка поставленной задачи как вариационной задачи на условный экстремум.

4. Синтез оптимального алгоритма (закона) управления – решение вариационной задачи на условный экстремум.

5. Анализ процессов в системе при оптимальном режиме и линейном напряжении источника питания.

6. Сравнительная оценка процессов в схеме при оптимальном и линейном режимах.

Рассмотрим эти этапы подробнее.

3.1.1. Описание объекта управления. Математическая модель объекта получается на основе законов Кирхгофа и имеет вид дифференциального уравнения:

, (1)

где x(t)=i(t) , u(t)=e(t) для задачи 1 и x(t)=u_C(t) , u(t)=e(t) для задачи 2; p, b – числа, равные: p = – R/L, b = 1/L или p = –1/RC , b = 1/RC.

3.1.2. Конструирование функционала (критерия оптимальности). Находится выражение для суммарной энергии активных потерь в схеме за время t₁–t₀ , которое представляется в виде:

. (2)

Для этого записываем выражение для активной мощности потерь на сопротивлениях r и R. Для вариантов задачи 1 получаем:

или ,

а для вариантов задачи 2:

или

.

Таким образом, для вариантов задачи 1 q = R, m = 1/r , а для вариантов задачи 2 q = 1/R , n = –2/R , m = 1/r + 1/R.

3.1.3. Формулировка задачи как вариационной задачи на условный экстремум. Для этого необходимо рассматривать в качестве уравнения связей уравнение системы (1), а в качестве функционала – функционал (2).

3.1.4. Синтез оптимального алгоритма управления. Это наиболее важный и трудоемкий этап работы и его целесообразно разбить на 3 подэтапа.

1. Получение уравнений вариационной задачи. Уравнения Эйлера–Лагранжа имеют вид:

,

в которых функция Лагранжа имеет вид:

где (t) – неопределенный множитель Лагранжа.

К полученным уравнениям нужно добавить уравнение модели объекта, в итоге получаем систему уравнений (3, 4, 5):

		(3)
		(4)
		(5)

2. Отыскание решения уравнений вариационной задачи. Рекомендуется следующий порядок решения уравнений (3) – (5).

а) Выразить из (5) u(t) и подставить его в (3) и (4). При этом получается система уравнений:

, (6)

с коэффициентами

a₁₁ = p – nb/2m, a₁₂ = b²/2m, a₂₁ = 2q – n²/2m, a₂₂ = nb/2m – p.

б) Записать систему (6) в матричной форме:

, (7)

где

, .

в) Записать решение уравнения (7) в виде:

, (8)

где – вектор начальных условий, а матричная экспонента

определяется по формуле Лагранжа–Сильвестра:

(₁ , ₂ – собственные числа матрицы А; Е – единичная матрица).

Для определения неизвестного начального значения множителя Лагранжа (t₀) , входящего в (8), необходимо:

– записать (8) для момента времени t₁:

или

, (9)

где e₁₁ , е₁₂ , е₂₁ , е₂₂ – элементы матрицы:

;

– определить (t₀) из первого уравнения системы (9):

г) Решить уравнение (7) и с учетом выражения (5) записать выражение для оптимальной траектории и оптимального управления.

3.1.5. Анализ процессов в системе.

1. Анализ процессов при оптимальном режиме заключается в построении графиков x(t) , u(t) на интервале t[t₀,t₁].

2. Анализ процессов при линейном изменении тока i(t) (варианты задачи 1) или напряжения u_С(t) (варианты задачи 2). Полагая, что ток или напряжение изменяются линейно:

i_Л(t) = kt + d или u_С = kt + d,

от заданного начального состояния до заданного конечного состояния, необходимо записать на основе (1) выражения для закона управления е_Л(t), обеспечивающего линейное изменение переменных, и построить графики процессов i_Л(t), е_Л(t) для вариантов задачи 1 и u_Л(t), е_Л(t) для вариантов задачи 2.

Величины k, d выбираются из условия прохождения i_Л(t) и u_Л(t) через заданные начальное и конечное значения.

3.1.6. Сравнительная оценка процессов в схеме при оптимальном и линейном режимах.

1. Вычислить энергию активных потерь при оптимальном режиме, подставив в (2) x(t) и u(t).

2. Вычислить энергию активных потерь при линейном режиме путем подстановки в (2) x_Л(t) и u_Л(t).

3. Сравнить величины активных потерь между собой, сделать вывод о целесообразности работы схемы в оптимальном режиме.