Уравнения с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:
,
(3)
т.е.
правая часть уравнения есть произведение
двух функций, одна из которых зависит
только от переменной
,
а вторая – только от
.
В дифференциальной форме записи уравнение с разделяющимися переменными выглядит следующим образом:
Разделим
обе части уравнения (3) на
и домножим на
,
получим:
Проинтегрируем обе части последнего равенства:
отсюда
где
– первообразная для функции
,
– первообразная для функции
.
Таким
образом,
есть общий интеграл дифференциального
уравнения (3).
1.1.2. Однородные уравнения.
Определение.
Функция
называется однородной функцией
-го
порядка относительно переменных
и
,
если для неё выполняется равенство:
.
Однородную
функцию нулевого порядка всегда можно
представить как функцию, аргументом
которой является отношение
,
т.е.
.
Определение. Дифференциальное уравнение вида
называется
однородным уравнением первого порядка,
если
и
–
однородные функции одного и того же
порядка.
Обычно
однородные уравнения разрешают
относительно производной и записывают
в виде:
.
(4)
Уравнение
(4) сводится к уравнению с разделяющимися
переменными с помощью подстановки
.
1.1.3. Линейные уравнения
Определение.
Дифференциальное
уравнение первого порядка называется
линейным, если оно содержит
и
в первой степени, т.е. имеет вид:
(5)
При
уравнение (5) примет вид
и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными, а его общее решение имеет вид
,
где
– произвольная постоянная, а
– одна из первообразных функции
.
Интегрирование линейного неоднородного уравнения (5) можно провести методом Бернулли.
Положим
,
тогда
.
Подставляя выражения для
и
в уравнение (5), получим:
.
Перенесём
слагаемое
в левую часть и сгруппируем с
,
вынося
в качестве общего множителя:
.
(6)
Согласно
методу Бернулли функцию
выбирают так, чтобы
.
Интегрируем уравнение с разделяющимися
переменными
и
выбираем какое-либо его частное решение
.
Подставляя найденную функцию
в уравнение (6), получаем уравнение с
разделяющимися переменными относительно
функции
,
,
тогда
,
т.е.
находим общее решение этого уравнения
.
Учитывая,
что
,
получаем общее решение уравнения (5)
.
1.1.4. Уравнения Бернулли
Определение. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка вида
,
где
(при
уравнение является линейным, а при
– уравнением с разделяющимися
переменными).
Так же как и линейное
уравнение, уравнение Бернулли можно
проинтегрировать с помощью подстановки
или свести к линейному уравнению с
помощью подстановки
.