1.2.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Поскольку общее решение линейного однородного уравнения (14) легко находится по теореме 5, то в силу теоремы 4 для нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения
(16)
остаётся найти какое-нибудь одно его частное решение . В тех случаях, когда правая часть имеет специальный вид, частное решение неоднородного уравнения находится методом неопределённых коэффициентов. Этот метод называется также методом подбора частного решения неоднородного уравнения по специальному виду правой части.
Специальным видом функции называется следующий вид:
,
где
и
– многочлены степени
и
соответственно, или в частном случае
(когда
)
.
Число
называется характеристическим
числом функции
.
Если правая часть уравнения (16) имеет такой вид, то частное решение удобно искать точно в таком же виде, в каком представлена функция , только вместо известных коэффициентов в многочленах будут стоять неопределённые коэффициенты, которые находятся при подстановке построенной функции в дифференциальное уравнение, т.е.
.
Здесь
– наибольшая из степеней
и
;
и
– многочлены степени
с неопределёнными коэффициентами.
Если
характеристическое число
не является корнем характеристического
уравнения (16), то
Если
есть корень характеристического
уравнения (16) кратности
,
то
.
Так как предполагается, что данная функция есть решение дифференциального уравнения (16), то при подстановке этой функции в данное уравнение мы получим тождество, поэтому можно приравнивать коэффициенты при одинаковых линейно независимых функциях слева и справа. Это даёт систему уравнений для нахождения всех неопределённых коэффициентов.
Теорема
6. Если
и
– частные решения соответственно
уравнений
и
,
то
функция
– частное решение уравнения
.
Теоретические вопросы.
Дать определение дифференциального уравнения n-ого порядка.
Дать определение общего и частного решения дифференциального уравнения n-ого порядка.
Указать преобразование, приводящее однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
Сформулировать метод нахождения общего интеграла уравнения в полных дифференциалах.
Изложить метод вариации произвольной постоянной при нахождении общего решения дифференциального уравнения.
Привести методы нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Сформулировать необходимое и достаточное условие того, чтобы система частных решений однородного линейного дифференциального уравнения являлась фундаментальной.
Задание к выполнению типового расчета.
Ответить на теоретические вопросы.
В примерах с 1 по 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения.
В примере 12 проинтегрировать систему дифференциальных уравнений.