Примерный типовой вариант №0.
при
Решение примеров типового варианта №0.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение.
Разделив обе части уравнения на
,
имеем
.
Интегрируем
,
,
отсюда
–
общее решение данного дифференциального
уравнения.
Пусть
теперь
,
т.е.
.
Непосредственной подстановкой убеждаемся,
что
– решение исходного уравнения. Но оно
не будет особым, так как его можно
получить из общего решения при
.
Пример 2. Найти общий интеграл уравнения .
Решение. Данное уравнение является однородным вида
Положим
,
тогда
,
.
Подставляя в данное уравнение, получим:
,
отсюда
,
т.е. получили уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные
Интегрируем обе части последнего равенства
,
.
Учитывая,
что
,
получаем
или
–
общий интеграл данного дифференциального
уравнения.
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Решение.
Данное уравнение является линейным
неоднородным. Решим это уравнение
методом Бернулли. Сделаем подстановку:
.
Имеем:
,
.
(17)
Функцию выберем так, чтобы
,
отсюда
.
Интегрируя обе части последнего равенства, получаем
,
.
Подставим найденную функцию в уравнение (17), получим
,
.
Вспоминая, что окончательно получаем общее решение данного дифференциального уравнения
.
Пример 4. Найти общий интеграл уравнения .
Решение. Здесь
Следовательно, левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции , т.е.
.
Проинтегрируем первое равенство по
.
Продифференцируем функцию по
.
Используя второе
равенство
,
получаем уравнение
,
откуда находим:
,
.
Тогда
.
Таким образом, общий интеграл исходного
уравнения имеет вид
.
Пример
5.
Найти общее решение уравнения
и его частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям
.
Решение. Интегрируя первый раз, получаем:
.
Повторное интегрирование даёт
.
Таким
образом
– общее решение дифференциального
уравнения.
Подставив
теперь в полученное общее решение и
выражение для первой производной
начальные условия, получим систему двух
уравнений с неизвестными
:
Решив
эту систему, найдём значения параметров
.
Следовательно, искомое частное решение
имеет вид:
.
Пример 6. Найти общее решение уравнения
Решение.
Данное уравнение не содержит
и
.
Положим
,
тогда
,
и уравнение принимает вид:
,
или
.
Это
линейное уравнение первого порядка
относительно функции
.
Решаем его методом Бернулли, т.е. делаем
подстановку
,
:
Выбираем
функцию
так, чтобы
– это уравнение с разделяющимися
переменными. Разделяя переменные и
интегрируя, получим
.
Тогда
Учитывая, что , получаем
Вспоминая,
что
,
имеем
.
Последовательно проинтегрировав два раза, найдём общее решение заданного дифференциального уравнения:
.
Пример
7.
Найти общий интеграл уравнения
.
Решение.
Положим
.
Тогда уравнение преобразуется к виду
.
Приведя
подобные и сократив на
(при этом следует учесть теряемое решение
,
или
),
получим:
.
Положив
здесь
,
придём к уравнению
.
Сократив
на z
(при этом следует учесть ещё одно решение
,
т.е.
),
получим
,
откуда
,
или
.
Интегрируя последнее уравнение, находим:
или
.
Окончательно
получим
– общее решение исходного дифференциального
уравнения.
Пример
8.
Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Составляем
характеристическое
уравнение:
.
Находим дискриминант и корни квадратного уравнения:
Запишем
фундаментальную систему решений:
.
Следовательно, общее решение имеет вид
.
Пример 9.Решить уравнение
Решение.
Для функции
имеем,
.
Характеристическое уравнение есть
,
его корни
,
то есть
является корнем характеристического
уравнения кратности 1. Частное решение
будем искать в виде
.
Найдем
,
.
Подставляем в уравнение:
,
или
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему
Решая
систему, находим
Таким образом, общее решение уравнения
будет
.
Пример 10. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
Решение.
Найдём
сначала общее решение соответствующего
однородного уравнения
.
Для этого составим характеристическое
уравнение
и найдём его корни
.
Общее решение однородного уравнения
будет
.
Правую
часть неоднородного уравнения запишем
в виде суммы двух функций
и
,
для которых частное решение можно искать
методом неопределённых коэффициентов.
Частное решение, соответствующее правой части будем искать в виде:
.
Имеем
,
.
Подставляя
эти выражения в неоднородное уравнение
(с правой частью
)
и сокращая на
,
получим
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x и находим:
,
отсюда
.
Таким
образом,
Частное
решение, соответствующее правой части
,
запишем в виде:
.
Имеем
,
.
Подставляя
эти выражения в неоднородное уравнение
(с правой частью
),
получим
Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях слева и справа, получим
,
отсюда
.
Таким
образом,
.
Следовательно,
общее решение исходного дифференциального
уравнения есть
,
или
.
Пример
11.
Найти общее решение уравнения
.
Решение: Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Для его решения используем метод вариации произвольных постоянных.
Прежде
всего решим однородное уравнение
.
Это дифференциальное уравнение второго
порядка типа
,
допускающее понижение порядка. Для его
решения введем переменную
,
следовательно
.
После подстановки новой переменной в
однородное уравнение будем иметь
,
или разделяя переменные, получим
.
Интегрируя последнее уравнение, получим
,
или
,
откуда
,
или
.
Переходя к переменной y, решим уравнение
,
откуда
.
Разделим
переменные
,
проинтегрируем
,
т.е.
.
Будем
искать решение исходного неоднородного
уравнения в виде
,
где
и
- неизвестные произвольные функции, а
и
- два частных решения однородного
дифференциального уравнения, образующие
фундаментальную систему решения, так
как определитель Вронского для них
.
Для приведенных уравнений второго порядка соответствующая система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных произвольных постоянных и может быть записана в виде
,
или
Отсюда
,
следовательно
.
Подставляя
в первое уравнение, получим
,
откуда
.
Таким образом, решение исходного неоднородного уравнения будет иметь вид
,
где A и B – произвольные постоянные.
Пример
12. Проинтегрировать
систему дифференциальных уравнений
Решение. Продифференцируем первое уравнение системы по t, получим
.
Подставим
в полученное уравнение значение
из второго уравнения системы
.
Заменяя функцию y ее выражением из первого уравнения системы
,
(18)
приходим к линейному однородному уравнению второго порядка относительно одной неизвестной функции x
,
или
.
Последнее
уравнение – это однородное линейное
дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Решая характеристическое уравнение
,
находим корни
.Таким
образом, общее решение дифференциального
уравнения
.
Дифференцируя последнее уравнение по
t
, находим
.
Подставим
выражение для x
и
в равенство (18) и приведем подобные члены
Функции
,
являются решениями данной системы.