1.2.2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
,
(11)
где
функции
и
непрерывны на некотором отрезке
При
этих условиях существует единственное
решение уравнения (11), удовлетворяющее
заданным начальным условиям:
при
.
Функция
называется правой
частью уравнения (11),
а соответствующее уравнение называется
также линейным дифференциальным
уравнением второго порядка с правой
частью. При
приходим к линейному однородному
дифференциальному уравнению второго
порядка (или уравнению без правой части)
(12)
Определение.
Функции
и
называются линейно
независимыми
на отрезке
,
если тождество
(13)
имеет
место тогда и только тогда, когда
Если
же существуют такие числа
и
,
из которых хотя бы одно отлично от нуля,
что для всех
имеет место тождество (13), то функции
и
называются линейно
зависимыми
на отрезке
.
Данные определения равносильны следующим: функции и называются линейно независимыми (зависимыми) на отрезке , если
О линейной зависимости или независимости функций и можно судить по определителю
который называется определителем Вронского (или просто вронскианом).
Теорема
1. Если
и
линейно зависимы на отрезке
,
то определитель Вронского
для всех
.
Теорема
2. Если
и
линейно независимые на отрезке
решения дифференциального уравнения
(12), то определитель Вронского этих
функций отличен от нуля во всех точках
отрезка
,
т.е.
для всех
.
Теорема
3. Общее
решение
линейного однородного дифференциального
уравнения (12) имеет вид
,
где и – линейно независимые решения этого уравнения.
Таким образом, для того, чтобы получить общее решение однородного уравнения (12), достаточно найти любые два линейно независимых частных решения этого уравнения (в этом случае говорят, что они образуют фундаментальную систему решений уравнения (12)).
Теорема
4. Общее
решение
линейного неоднородного дифференциального
уравнения (11) представляется в виде
суммы
,
где
– общее решение соответствующего
однородного уравнения (12), а
– некоторое частное решение неоднородного
уравнения (11).
1.2.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
(14)
где
– постоянные коэффициенты (числа).
Квадратное уравнение
(15)
называется
характеристическим
уравнением для
уравнения (14) и получается из уравнения
(14) путём замены производных
на степени
.
Для
составления общего решения
дифференциального уравнения (14) необходимо
найти корни
и
соответствующего характеристического
уравнения (15) и применить следующую
теорему:
Теорема 5. Пусть и – корни характеристического уравнения для уравнения (14). Тогда общее решение уравнения (14) находится по одной из следующих формул:
Если и – действительные и
,
то
;
Если и – действительные и
,
то
;
Если
– комплексно-сопряжённые корни
,
то
