3.Дифференциалы и производные высших порядков.

Пусть дана функция , тогда согласно определению ее дифференциал равен . Дифференциал аргумента равен его приращению и не зависит от переменной . Однако производная функции является функцией аргумента . В связи с этим дифференциал функции является функцией аргумента . Следовательно, можно поставить вопрос о дифференцируемости дифференциала функции.

О2. Дифференциал от первого дифференциала функции называется вторым дифференциалом функции, т.е. .

О3. Производная от первой проризводной функции называется второй про-изводной функции, т.е. .

Аналогично вводятся дифференциалы и производные высших порядков:

и так далее. Производные высших порядков могут быть записаны в виде

и так далее.

Пример 5. Найти второй дифферециал функции .

Используя формулу для второго дифференциала, найдем вторую производную от заданной функции . Следовательно, второй дифференциал равен .

Пример 6. Найти -ую производную от функции .

Вычислим последовательно первую , вторую и третью производные . Используя последовательное дифференци-рование, найдем -ую производную от функции :

О4. Произведение чисел от до , равное , называется факториалом.

Пример 7. Найти -ую производную от функции .

Вычислим последовательно первую , вторую и третью производные . Таким образом, -ая производная от функции равна самой функции.

“Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя”

1. Теоремы Ролля, Ферма, Лагранжа.

Т1. (теорема Ролля).Пусть дана функция , которая

- непрерывна на сегменте ;

- дифференцируема на открытом интервале ;

- на концах сегмента принимает равные значения .

Тогда существует хотя бы одна точка такая, что .

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что внутри сегмента есть, по крайней мере, одна такая точка , в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс ( ), так как в этой точке производная .

О1. Точки, в которых первая производная функции равна нулю, называются критическими (стационарными или подозрительными на экстремум).

Т2. (теорема Ферма). Необходимым условием существования экстремума в точке функции , которая непрерывна на сегменте и дифференцируема на открытом интервале , является обращение в нуль в этой точке первой производной функции, т.е. .

Т3. (теорема Лагранжа). Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на открытом интервале . Тогда существует хотя бы одна точка такая, что .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что внутри сегмента есть, по крайней мере, одна такая точка , в которой касательная к графику функции параллельна секущей, соединяющей крайние точки графика функции.