1. Способ хорд.
Т1.
Если функция
непрерывна на сегменте
,
на концах сегмента принимает значения
разных знаков и ее первая производная
сохраняет свой знак, то существет хотя
бы одна точка
,
которая является решением уравнения
.
Метод
хорд состоит в следующем: в качестве
первого приближения к корню
уравнения
выбирается точка, в которой хорда
пересекает ось абсцисс.
Такой
точкой будет
.
Затем вычисляют значение функции в этой
точке
.
Из интервалов
и
выбирают тот, для которого функция
принимает значения разных знаков на
его концах в соответствии с приведенной
выше теоремой (на приведенном рисунке
этот интервал соотвествует отрезку
).
Вновь проводят хорду и в качестве второго
приближения получим точку
.
Данная
методика повторяется до тех пор, пока
искомый корень не будет определен с
заданной точностью. Таким образом,
-ое
приближение к корню уравнения по методу
хорд вычисляется согласно формуле:
.
Пример
1.
Найти корень уравнения
с точностью
по методу хорд.
Если
построить график функции
,
то можно увидеть, что он пересекает ось
абсцисс в интервале
.
На этом сегменте выполняются все условия
вышеприведенной теоремы, кроме того,
и
.
Первое приближение к корню равно
.
Вычислим
значение функции в этой точке
,
поэтому корень лежит на интервале
,
на концах которого функция принимает
значения разных знаков. Найдем второе
приближение
.
Вычислим значение функции в этой точке
,
поэтому корень лежит на интервале
,
на концах которого функция принимает
значения разных знаков. Найдем третье
приближение
.
Вычислим значение функции в этой точке
,
поэтому корень лежит на интервале
,
на концах которого функция принимает
значения разных знаков. Найдем четвертое
приближение
.
Вычислим значение функции в точке
,
получим
,
следовательно, точное значение корня
лежит на сегменте
и его значение с заданной точностью
можно принять
.
2. Метод касательных.
Т2.
Если функция
непрерывна на сегменте
,
на концах сегмента принимает значения
разных знаков, а производные
и
на этом сегменте сохраняют неизменные
знаки, то существует хотя бы одна точка
,
которая является решением уравнения
.
Сущность
метода касательных заключается в
следующем: если на одном из концов
(например, при
)
рассматриваемого интервала функция
и
имеют одинаковые знаки, то в этом конце
проводится касательная к графику
функции. В качестве первого приближения
к корню уравнения принимается точка
пересечения касательной с осью абсцисс.
Такой
точкой будет
.
Второе приближение вычисляют по формуле
.
Производя аналогичные вычисления,
находят
-ое
приближение к корню
.
Искомое значение корня определяют по
формуле
,
где
(знак выбирается в зависимости от того,
какой конец сегмента был выбран), а
- заданная точность вычислений, при этом
на интервале
функция должна удовлетворять всем
требованиям Т2.
Если
касательную провести в том конце сегмента
,
где функция
и вторая производная
принимают значения разных знаков, то
первое приближение
к корню уравнения может выйти за пределы
сегмента
и ухудшить процесс схождения
последовательности приближенных
значений к корню уравнения.
Если вторая производная функции не сохраняет свой знак неизменным на сегменте , то касательные, проведенные из концов графика функции на сегменте , могут выйти за пределы сегмента и нарушить сходимость последовательности приближенных значений к корню уравнения.
Пример 2. Найти корень уравнения , лежащий на интервале , с точностью по методу касательных.
Найдем
первую и вторую производные от функции
:
и
.
На
заданном сегменте обе эти величины
сохраняют знак “+”. Так как
,
то касательную к графику функции
проводим в точке
.
Согласно формуле метода касательных
имеем
.
Вычислим в этой точке значение функции
и значение первой производной
.
Тогда второе приближение к корню
заданного уравнения будет равно
.
Дальнейшее приближение не улучшает
значение сотых долей полученного числа,
поэтому вычислим значение функции в
следующих точках
и
.
Таким образом, в качестве корня принимаем значение
.