2. Минимум и максимум (экстремумы) функции.

Пусть функция непрерывна в точке .

О1. Функция имеет в точке минимум ( ), если существует такая -окрестность точки , что значение функции в любой другой точке из -окрестность точки превышает значение функции в самой точке , т.е. выполняется неравенство . Обозначение .

О2. Функция имеет в точке максимум ( ), если существует такая -окрестность точки , что значение функции в любой другой точке из -окрестность точки меньше значения функции в самой точке , т.е. выполняется неравенство . Обозначение .

Пример 2. Найти на заданном графике точки максимума и минимума.

О3. Точки минимума и максимума объединяются под общим названием точки экстремума.

Точки экстремума всегда являются внутренними точками области определения функции. Не следует путать минимальное значение функции с наименьшим значением функции на сегменте , максимальное значение

функции – с наибольшим значением функции на сегменте .

Необходимое условие существования экстремума функции определяет

Т4. Если дифференцируемая функция имеет в точке экстремум, то ее первая производная в этой точке равна нулю, т.е. .

Обращение в ноль первой производной функции в точке является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума в этой точке. Непрерывная функция может иметь экстремум в точке даже в том случае, когда ее первая производная в этой точке не существует. В этом случае говорят об “острых” экстремумах.

Пример 3. Доказать, что функция имеет “острый” экстремум в точке .

Построим график этой функции

Из рисунка видно, что в точке функция определена и непрерывна, однако ее первая производная , т.е. в точке первая производная функции не существует. Однако по графику функции видно, что в точке заданная функция имеет “острый” экстремум.

О4. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими (стационарными или подозрительными на экстремум).

Всякая точка экстремума является критической точкой, однако не любая критическая точка будет экстремумом.

Пример 4. Доказать, что функция не имеет экстремума в точке .

В точке первая производная функции . Однако из графика кубической параболы видно, что в точке она экстремума не имеет. Следовательно, исследуемая точка является критической точкой, но не точкой экстремума.

“Исследование функций с помощью производных: Достаточные признаки существования экстремумов. Выпуклость и вогнутость графика функции. Асимптоты”