2. Правило Лопиталя.

Т4. Если функции и непрерывны на сегменте , диффе-ренцируемы на открытом интервале и при одновременно стре-мятся к нулю или бесконечности ( и ), то для раскрытия неопределенности применяется формула

.

Док-во. Докажем случай, когда при функции и , то есть в точке функции имеют значение и . Тогда

(по теореме Лагранжа) (в силу произвольности точки ) .

Теорема Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей вида или . Для раскрытия других типов неопределенностей, они должны путем тождественных преобразований вначале приведены к одной из двух указанных неопределенностей, после чего можно применять правило Лопиталя. При применении правила Лопиталя производная берется отдельно от числителя и отдельно от знаменателя дроби.

Пример 1. Вычислить .

Так как , то по правилу Лопиталя .

Пример 2. Вычислить .

.

При необходимости правило Лопиталя применяется повторно.

Пример 3. Вычислить .

В данном примере имеем дело с неопределенностью . Предположим, что этот предел существует и равен , т.е. . Возьмем натуральный логарифм от обеих частей равенства

(применим правило Лопиталя) . Отсюда находим предельное значение заданной функции .

“Формула Тейлора и ее применение”

1. Формула Тейлора.

Т1. Если функция на интервале дифференцируема раз, то .

Эта формула была получена в 1715г. Бруком Тейлором, который был учеником Исаака Ньютона, и носит его имя. Последнее слагаемое в формуле Тейлора называется остаточным членом, вид которого установил Лагранж:

,

величина . В этой формуле неизвестной является только величина , причем в указанном интервале согласно теореме Лагранжа такая точка всегда присутствует, хотя бы в единственном числе. Если зафиксировать начало интервала, а его конец считать переменной величиной, то формула Тейлора принимает вид:

.

При формула Тейлора переходит в формулу Маклорена:

.

Пример 1. Представить по формуле Маклорена функцию , ограничившись .

Вычислим три первых производных заданной функции:

.

При получим . Остаточный член согласно формуле Лагранжа имеет вид . Следовательно, при заданная функция по формуле Маклорена имеет вид: , где . Отметим, что полученное выражение справедливо при . Решим найденное равенство относительно величины : . Отсюда получаем . Следовательно, . Так как выражение под радикалом 4-ой степени должно быть неотрицательным и , то . Таким образом, из двух корней теореме Тейлора удовлетворяет только корень , который действительно лежит между нулем и .

2. Применение формулы Тейлора.

Если известны величины , то формула Тейлора позволяет вычислить значение функции в любой точке . В зависимости от требуемой степени точности вычислений достаточно бывает вычичлить два, три или несколько первых слагаемых в формуле Тейлора. Для оценки погрешности вычислений необходимо помнить, что величина в остаточном члене в форме Лагранжа лежит в пределах от до .

Пример 2. Представить функцию по формуле Маклорена.

Так как , то

. Следовательно,

, где . Отсюда следует, .

Пример 3. Вычислить с точностью .

Так как основание , то . Следовательно, при остаточный член равен .

При остаточный член ; – .

Следовательно, удерживая пять первых слагаемых в формуле Маклорена, получим с требуемой точностью, что .

Пример 4. Вычислить число с точностью .

Согласно результатам, полученным в предыдущем примере, для достижения требуемой точности, подсчитаем остаточный член формулы Маклорена в форме Лагранжа . При имеем , при получаем . Итак, . Если вычислять значение числа с точностью , то потребуется взять 13 первых слагаемых, при этом . Аналогично формула Маклорена-Тейлора применяется для вычисления и других функций. Например, для вычисления натуральных логарифмов используется формула: , причем .

Пример 5. Вычислить с точностью .

В данном примере . Так как , то , следовательно, остаточный член . При получаем . Следовательно, достаточно взять первый член в формуле Маклорена-Тейлора .

“Приближенные методы решения уравнений”