1.1. Случайные величины и их характеристики
Основная характеристика события в рамках теории вероятностей – то, что оно может произойти, а может и не произойти. Количественная мера возможности события называется вероятностью.
Величина является дискретной, если она может принимать только отдельные значения, например, 0; 1; -0,391 и т.д.
Величина является
непрерывной,
если ее возможные значения непрерывно
заполняют некоторый промежуток. Пример:
множество значений чисел, находящихся
в интервале
.
Вариационный ряд – совокупность значений дискретной величины, записанных в порядке возрастания.
1.2. Законы распределения вероятностей
Если в результате
опыта величина
принимает одно из возможных значений
,
то им соответствуют вероятности
,
причем соблюдается
.
Однако для
непрерывной случайной величины, которая
может принимать бесчисленное множество
возможных значений, данная формула
теряет смысл. Для количественной
характеристики распределения вероятностей
непрерывной случайной величины удобно
воспользоваться вероятностью события
,
где
- некоторая текущая переменная.
Соответствующая функция называется
функцией распределения случайной
величины
:
.
Производная функции
называется плотностью распределения
вероятности.
В теории вероятностей исключительно важную роль играет нормальный закон распределения
.
Сумма достаточно большого числа независимых величин, подчиняющихся каким угодно законам распределения, приближенно подчиняется нормальному закону. Нормальным распределением, например, описывается вес деталей в партии.
Более универсальным считается закон распределения Вейбулла - Гнеденко:
,
.
При
этот закон переходит в экспоненциальный,
при
- в распределение Рэлея, при
по свойствам он близок к нормальному
распределению.
Распределение Максвелла применяется для существенно положительных величин (например, эксцентриситетов биения торцов валов), т.е. примерно в тех же случаях, что и нормальное распределение, и распределение Вейбулла - Гнеденко. Оно имеет вид:
,
где
;
параметр распределения
,
где
- средняя симметричность:
,
где
- число наблюдений в каждом интервале,
- значение середины интервала. Нетрудно
убедиться, что распределение Максвелла
фактически является частным случаем
распределения Вейбулла – Гнеденко.
Биноминальное
распределение
характеризует вероятность появления
события «А»
раз в
испытаниях, если в каждом испытании
вероятность его появления
,
а вероятность отсутствия
:
.
Так можно подсчитать вероятность появления определенного числа бракованных деталей в партии при известном проценте брака.
Распределение
Пуассона
показывает вероятность попадания
определенного числа точек
на отрезок известной длины
,
если точки распределены по оси случайно:
,
,
где
- математическое ожидание числа точек,
попадающих на этот участок:
,
где
- средняя плотность точек. На основании
этого распределения можно найти
вероятность попадания в самолет ровно
осколков при разрыве снаряда, если
известна площадь проекции самолета и
средняя плотность потока осколков.
Закон равномерной плотности соответствует формуле
где
и
- границы распределения. В интегральном
виде
Если пассажир
выходит на платформу метрополитена,
мимо которой с интервалом 2 мин идут
поезда, то время ожидания поезда –
случайная величина, распределенная с
равномерной плотностью на участке
минут.
