1.4. Область применения и виды методов малых выборок

Малая выборка статистических данных (менее 20) приводит к недостаточной стабильности статистических выводов при использовании классических методов. Ситуация малой выборки возникает, к примеру, когда проведение большого числа испытаний затруднительно из-за дороговизны испытуемых узлов или самих испытаний.

Методов малой выборки, позволяющих получать более устойчивые и объективные статистические оценки, существует довольно много. Среди них можно выделить метод прямоугольных вкладов (МПВ) и метод уменьшения неопределенностей (МУН).

1.5. Метод прямоугольных вкладов

Он основан на правиле нахождения функции плотности вероятности

,

где - априорная функция плотности вероятности значений случайной величины, имеющая вид

,

где и - apriori известные границы интервала значений случайной величины . Соблюдается

,

- функция вклада – элементарное распределение, построенное относительно ^й-реализации случайной величины и заданное на интервале . Здесь

- ширина вклада, на котором строится его функция. Ширина выбирается

,

довольно часто

и менее, в зависимости от априорной информации;

- весовой коэффициент функций и .

Вообще функция вклада может иметь не только прямоугольную, но и треугольную, колоколообразную и др. форму.

Рассмотрим пример использования МПВ. Износ направляющей по результатам исследования трех деталей составил: . Верхняя граница износа по техническим условиям не может превышать мм. Нижняя граница составляет . Требуется найти функцию плотности вероятности.

График априорной функции плотности вероятности:

Графики функций вкладов строим следующим образом:

1) Находим границы вклада. Для этого от соответствующей точки откладываем отрезки длиной 0,5 в положительном и отрицательном направлении. Если конец отрезка заходит за границы распределения (0,0 и 1,0), то границы вклада ограничиваются границами распределения;

2) Высоту вклада находим из условия равенства его площади 1,0:

.

Результирующий график плотности вероятности строим как сумму всех имеющихся графиков, деленную на их число. Построение ведем по границам графиков вкладов:

1.6. Метод уменьшения неопределенности

Это новая реализация МПВ, основанная на использовании нормированного равномерного распределения, заданного на интервале . При этом для выражения функции распределения используют кусочно-линейную аппроксимацию

,

где .

,

где ;

- объем выборки;

- число одинаковых реализаций ;

оценивается аналогично , причем , .

Для нахождения функции плотности вероятности следует воспользоваться данными графика и зависимостью

,

где , - приращение аргумента и соответствующее приращение функции .

Рассмотрим пример использования МУН. Условия задачи те же, что и в примере использования МПВ.

Сортируем выборку по возрастанию: 0,3; 0,38; 0,4. Далее находим значение функции накопленной вероятности в узловых точках. По определению ; .

.

.

.

Далее строим график функции накопленной вероятности.

Поскольку функция плотности вероятности является производной от функции накопленной вероятности, то в случае кусочно-линейной функции справедливо

.

Графики плотности вероятности, построенные обоими методами, значительно отличаются друг от друга. Это указывает на существенную погрешность методов малой выборки.

Имея график функции плотности вероятности, можно найти, в частности, такие параметры распределения, как математическое ожидание и дисперсию.

Как будет показано ниже,

,

.

Эти интегралы можно разбить по участкам полученного ступенчатого графика :

,

.

С учетом того, что на отдельных участках график

,

то

,

.

Используя график плотности вероятности, полученный с помощью МУН, получаем:

;

.