Методические указания к решению задачи № 7

1. Число степеней свободы системы с конечным числом сосредоточенных масс – это минимальное число независимых перемещений , определяющих положение системы масс в любой момент времени при колебаниях.

Для систем, показанных на рис.8, число степеней свободы равно 3. Компонуем из вектор .

2. Свободные колебания происходят под действием сил инерции. Запишем вектор как результат изгиба рамы от вектора сил инерции - , где - диагональная матрица масс, участвующих в движении

.

Элементы равны сумме масс, участвующих в движении применяя принцип независимости действия сил, и введя матрицу единичных перемещений

получим . (1)

Эта матричная запись системы трех дифференциальных уравнений свободных колебаний.

3. Матрицу определяем по формуле Мора [7]:

,

где - матрица влияния моментов.

Вектор - это вектор эпюры моментов в заданной раме от действия , приложенной по направлению .

4. Для составления нужно подготовить раму к расчету в матричной форме (см. п.1 методических указаний к задаче №3).

5. Решаем систему (1) в виде гармонических колебаний

, (2)

где - вектор амплитуд колебаний масс при частоте .

Дифференцируем (2) дважды по

,

подставляем в (1) и сокращаем на

. (3)

Переносим вправо (4)

Обозначим и .

Теперь вместо (4) будем иметь

. (5)

Это однородная система линейных уравнений для вектора . Она имеет нетривиальное (ненулевое) решение, если

. (6)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для определения параметра собственных частот . Иногда это уравнение называют вековым, так как оно впервые встретилось при определении периода движения планет.

Можно доказать, что для упругой системы, устойчивой в покое, все (в нашем случае 3) собственные значения действительны и положительны, а собственные векторы соответствующие различным собственным значениям, ортогональны между собой.

Другими словами, если , то скалярное произведение , иначе

.

6. Программа в файле СОБСТВЕК.xls для электронной таблицы EXCEL вычисляет три собственных числа и три собственных вектора по следующему алгоритму:

   1. Находится наибольшее первое собственное значение методом итераций.

Принимаем начальный вектор в виде .

Проводим итерации .

При большом .

2. Остальные собственные числа находим методом исчерпывания.

Для аргумента проводим преобразование .

Для матрицы методом итерации (п.6.1) определяем и .

Для определения проводим преобразование .

Для матрицы методом итерации (п.6.1) определяем и .

7. Геометрические параметры поперечного сечения рамы взять из табл.10.

Таблица 10

Номер двутавра	Масса 1 п.м, кг	Размеры, мм				F, см2	Jx, см4	Wx, см3
		h	b	s	t
40	57	400	155	8,3	13	72,6	19062	953
45	66,5	450	160	9	14,2	84,7	27696	1231
50	78,5	500	170	10	15,2	100	39727	1589
55	92,6	550	180	11	16,5	118	55962	2035
60	108	600	190	12	17,8	138	76806	2560

Задача № 8