Лабораторная работа № 2 парная линейная регрессия
Наиболее простой эконометрической моделью, построенной на основе парной линейной корреляционной связи, является модель парной линейной регрессии, имеющая вид:
,
(2.1)
где
– независимая
(факторная) переменная;
– зависимая
(результативная) переменная;
– параметры
(коэффициенты)
уравнения регрессии;
– независимая, нормально распределённая
случайная величина, остаток
с нулевым математическим ожиданием и
постоянной дисперсией.
Оценка параметров производится классическим методом наименьших квадратов (МНК) путём минимизации суммы квадратов остатков:
.
(2.2)
В результате минимизации остатков строится система нормальных уравнений. Решением системы находятся следующие формулы для расчёта оценок параметров через наблюдаемые значения переменных
,
.
(2.3)
Качество
регрессионной модели оценивают с помощью
коэффициента
детерминации
,
который определяется по формуле
,
(2.4)
где
,
– расчётные (прогнозные) значения
величины
,
полученные подстановкой соответствующих
значений
в
уравнение регрессии. Коэффициент
детерминации показывает, какую часть
вариации (дисперсии) зависимой переменной
объясняет построенное уравнение
регрессии.
Для проверки значимости уравнения регрессии рассчитывается значение критерия Фишера по формуле (k – число факторов):
,
(2.5)
где
,
.
(2.6)
Далее
находится критическое значение критерия
Фишера
для
заданного уровня значимости
и количества степеней свободы
и
.
Если
,
то делается вывод о значимости уравнения
регрессии (нулевая гипотеза о статистической
незначимости уравнения регрессии
отвергается), в противном случае уравнение
регрессии признается статистически
незначимым.
Одним
из методов оценки значимости
коэффициентов регрессионного уравнения
является
построение доверительных
интервалов.
Доверительные
интервалы для коэффициентов регрессии
имеют
соответственно вид
,
(2.7)
.
(2.8)
При этом исправленные выборочные оценки стандартных отклонений (ошибок) МНК-коэффициентов регрессии вычисляются по формулам
,
,
,
(2.9)
а
критическое значение
критерия Стьюдента определяется для
количества степеней свободы
и
заданного уровня значимости
.
Если по результатам расчёта доверительного интервала окажется, что доверительный интервал включает 0, то соответствующий коэффициент регрессии объявляется незначимым, в противном случае соответствующий коэффициент значим.
Альтернативным методом оценки значимости рассчитанных коэффициентов регрессионного уравнения является использование расчётных значений t-критерия Стьюдента, которые определяются по формулам:
,
(
в общем случае). (2.10)
Расчётные значения t-статистик сравниваются (по модулю) с критическими значениями t -статистик, определёнными для количества степеней свободы и заданного уровня значимости . Если расчётное значение превосходит критическое, то нулевая гипотеза о равенстве нулю коэффициента регрессии отвергается и соответствующий параметр признается значимым, в противном случае – незначимым.
Точность
построенного уравнения регрессии можно
оценить с помощью средней
ошибки аппроксимации (допустимый
предел значений
– не более 8–10%):
.
(2.11)
Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат от своей величины при изменении фактора на 1% от своего значения:
.
(2.12)
Прогнозное
значение
(точечный прогноз) определяется путём
подстановки в уравнение регрессии
соответствующего (прогнозного) значения
независимой переменной
.
Для
построения доверительного
интервала прогноза
сначала вычисляется средняя стандартная
ошибка прогноза
:
.
(2.13)
Затем строится сам доверительный интервал по формуле (для заданного уровня значимости ):
.
(2.14)
Быстрое развитие эконометрики во второй половине ХХ – начале ХХI века одновременно с развитием компьютерных технологий привело к появлению специализированных эконометрических пакетов для построения и анализа эконометрических моделей на компьютерах. К получившим известность эконометрическим пакетам относятся SAS, GAUSS, STATA, TSP, SPSS, Microfit386, Econometric Views. В данной лабораторной работе для расчетов используется некоммерческий эконометрический пакет Gretl, версия 1.9.14 (официальный сайт пакета: http://gretl.sourceforge.net/).