Задание

Исходные данные для лабораторной работы представлены табл. 3.1 значений зависимой и независимых переменных (по вариантам). Для пунктов 1–6 ниже расчёты произвести в Gretl, для пункта 7 – в Gretl и MS Excel. Принять уровень значимости .

Таблица 3.1

Исходные данные к лабораторной работе №3 по вариантам

№ варианта	Независимые переменные (из табл. 2 Приложения 1)	Зависимая переменная (из табл. 2 Приложения 1)
1	X3, X9, X12, X6	Y3
2	X2, X8, X12, X1	Y3
3	X6, X10, X8, X7	Y3
4	X3, X8, X9, X5	Y3
5	X1, X3, X5, X6	Y1
6	X2, X4, X12, X10	Y1
7	X7, X9, X11, X3	Y1
8	X7, X3, X12, X2	Y1
9	X3, X4, X8, X10	Y4
10	X1, X10, X11, X2	Y4
11	X6, X9, X12, X5	Y4
12	X8, X10, X12, X7	Y4
13	X1, X3, X4, X7	Y2
14	X8, X10, X12, X2	Y2
15	X1, X4, X5, X3	Y2

1. Построить матрицу парных линейных коэффициентов корреляции для зависимой и всех независимых переменных. Установить, какие факторы коллинеарны.

2. Построить уравнение множественной линейной регрессии, обосновав выбор факторов.

3. Оценить статистическую значимость уравнения множественной регрессии и статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии с использованием p-значений t- и F-статистик.

4. Построить уравнение множественной регрессии со статистически значимыми факторами.

5. Определить значение коэффициента множественной корреляции и детерминации, скорректированное значение коэффициента множественной детерминации.

6. Провести тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность с использованием теста Вайта.

7. Рассчитать и интерпретировать средние коэффициенты эластичности, бета- и дельта-коэффициенты.

Решение типового примера

Пусть даны следующие значения зависимой и независимых переменных (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Исходные данные типового примера

№ варианта	Независимые переменные (из табл. 2 Приложения 1)	Зависимая переменная (из табл. 2 Приложения 1)
1	X1, X4, X10, X11	Y3

1. Импортируем данные в Gretl и построим матрицу парных линейных коэффициентов корреляции для зависимой и всех независимых переменных с помощью функции Вид-Корреляционная матрица.

По результатам расчета 0,1688, , , , , . Таким образом, переменные X10 и X11 явно коллинеарны.

2. Построим уравнение множественной линейной регрессии с помощью функции Модель-Метод наименьших квадратов. Фактор X11 исключаем из построения, т.к. он коллинеарен с X10 и его связь с другими факторами сильнее, нежели у X10 ( ). При этом теснота связи X10 с результативным признаком высокая ( ). Итак, искомое уравнение множественной линейной регрессии выглядит следующим образом:

.

3. Построенное уравнение множественной линейной регрессии статистически значимо, так как p-значение для расчётной статистики Фишера (количество степеней свободы и ) меньше уровня значимости : .

Коэффициент статистически незначим, т.к. для расчётного значения t-статистики (количество степеней свободы ) p-значение больше уровня значимости : . Аналогичные p-значения для коэффициентов меньше , следовательно коэффициенты статистически значимы.

4. Построим уравнение множественной линейной регрессии с помощью функции Модель-Метод наименьших квадратов, исключив фактор X4. Полученное уравнение множественной линейной регрессии выглядит следующим образом:

.

На основе анализа р-значений для расчётных t- и F-статистик построенное уравнение регрессии и все коэффициенты регрессии являются статистически значимыми.

5. Рассчитанное значение коэффициента множественной детерминации: ; скорректированное значение коэффициента множественной детерминации: . Таким образом, построенное уравнение регрессии объясняет 54% вариации (дисперсии) зависимой переменной .

Рассчитаем значение коэффициента множественной корреляции: , т. е. теснота связи результативного признака с набором включённых в модель факторов достаточно высокая.

6. Проведём тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность с использованием теста Вайта в Gretl с помощью функции Тесты-Гетероскедастичность-Тест Вайта в окне построенной модели. Расчётная вероятность допустить ошибку (p-значение = 7,4810^–12) меньше уровня значимости и свидетельствует о том, что нулевую гипотезу (гетероскедастичность отсутствует) нужно отклонить, т. е. дисперсия остатков модели неоднородна.

Вероятная причина неоднородности дисперсии – наличие во множестве данных выпадающих значений (т.е. объектов, обладающих особыми свойствами, которые резко отличаются от свойств большинства других объектов рассматриваемой совокупности). Действительно, валовой региональный продукт г. Москва, г. Санкт-Петербург, Тюменской обл. (зависимая переменная), а также численность обучающихся по программам среднего профессионального образования в г. Москва, г. Санкт-Петербург, Краснодарском крае, республике Башкортостан (независимая переменная X10) существенно превышают средние значения.

7. Рассчитаем средние коэффициенты эластичности, бета- и дельта-коэффициенты по формулам 3.5, 3.6, 3.7 (средние значения зависимой и независимых переменных, а также их средние квадратические отклонения получаем в Gretl с помощью функции Вид-Описательная статистика):

, ,

, ,

, .

Следовательно, при изменении фактора X1 (плотность железнодорожных путей общего пользования) на +1% от своего значения результат Y3 (валовой региональный продукт) изменится на +0,65% от своей величины в среднем по совокупности при неизменных значениях других факторов. При изменении фактора X10 (численность обучающихся по программам среднего профессионального образования) на +1% от своего значения результат Y3 (валовой региональный продукт) изменится на +1,70% от своей величины в среднем по совокупности при неизменных значениях других факторов.

Трактовка полученных значений бета-коэффициентов аналогична трактовке средних коэффициентов эластичности (разница заключается только в том, что используются величины средних квадратичных отклонений переменных, а не проценты).

По рассчитанным значениям дельта-коэффициентов видно, что в суммарном влиянии всех факторов доля влияния фактора X1 составляет 0,16, а фактора X10 – 0,84.