2.2. Экономическая интерпретация и свойства двойственных оценок

Придадим экономический смысл прямой и двойственной задачам для следующей простейшей формулировки.

Будем считать, что на предприятии производится n видов продукции и при этом используются m видов ресурсов. Пусть далее

– нормы расхода i-го вида ресурса на производство единицы j-го вида продукции;

– объём i-го вида ресурса;

– цена единицы j-го вида продукции;

– искомые объёмы выпуска продукции j-го вида.

В этих обозначениях задача (2.1) – (2.3) примет вид задачи определения объёмов выпуска продукции ( при известных нормах затрат ресурсов ( так, что расход каждого вида ресурса не превышал бы имеющегося запаса ресурса ( , и при этом суммарный объём выпуска продукции (Z) должен быть максимальным.

Двойственная задача примет вид задачи определения оценок единицы каждого вида ресурса , таких, что оценка ресурса на выпуск единицы каждого вида продукции должна быть не меньше цены единицы этого продукта ( , а суммарная оценка всех ресурсов (W) была бы минимальной.

При такой постановке двойственные оценки приобретают определённый смысл и свойства. Сформулируем их.

Свойство 1. Оценка как мера влияния ограничения на оптимальное значение целевой функции.

В соответствии с этим свойством, оценка каждого вида ресурса в оптимальном плане показывает, на какую величину изменится оптимальное значение целевой функции, т.е. максимальный объём суммарного выпуска продукции, если объём соответствующего ресурса изменить на единицу. При этом надо иметь в виду, что данное свойство справедливо, если изменение ресурса не приведёт к изменению его оценки.

Известно, что оценки обладают определённой устойчивостью по отношению к изменению объёма ресурса. Например, если изменить объём i-го ресурса на k единиц, то объём выпуска продукции изменится на величину , если это изменение ресурса не вышло за границу устойчивости двойственной оценки. В противном случае придётся последствия такого изменения определять, пересчитывая задачу заново. Границы устойчивости двойственных оценок определяются по определённому алгоритму и выдаются при решении задачи ЛП любым пакетом программ.

Свойство 2. Оценка как мера дефицитности ресурса.

Это свойство вытекает из соотношений (2.8) и (2.9). Из (2.8) следует, что если в оптимальном плане ресурс израсходован полностью (слева этого соотношения показан суммарный расход ресурса, а справа – его запас, и знак равенства указывает на то, что расход равен запасу), то оценка такого ресурса в оптимальном плане положительна. В соответствии с первым свойством, чем больше оценка ресурса, тем будет большее увеличение оптимального объёма выпуска продукции при увеличении такого ресурса на единицу. Такой ресурс будем называть дефицитным.

Дефицитность здесь понимается в ином смысле, чем это обычно принято. Дефицитность здесь понимается с точки зрения вклада ресурса в увеличение выпуска продукции при его дополнительном увеличении.

А из соотношений (2.9) следует, что если ресурс в оптимальном плане не израсходован (расход меньше запаса), то его оценка равна нулю. Такой ресурс будем называть недефицитным – его увеличение не приведёт к увеличению выпуска продукции в оптимальном плане.

Таким образом, 2-е свойство можно сформулировать так: в оптимальном плане дефицитный ресурс имеет положительную оценку, и чем больше оценка, тем ресурс дефицитней. Недефицитный ресурс имеет нулевую оценку. Подчеркнём ещё раз, что под дефицитностью здесь понимается вклад ресурса в достижение поставленной цели.

Свойство 3. Оценка как мера эффективности выпускаемой продукции.

Это свойство следует из соотношений (2.10) и (2.11). В соответствии с (2.11) в оптимальном плане выпускается та продукция (выпуск больше нуля, т.е. ), оценка суммарных затрат ресурсов на выпуск единицы которой равна цене единицы этого продукта. Такую продукцию будем называть рентабельной. А в соответствии с (2.10) продукция в оптимальном плане не выпускается ( ), если оценка ресурсов на выпуск единицы такой продукции больше цены. Под рентабельностью здесь понимается равенство оценки ресурсов на выпуск единицы продукции цене единицы этой продукции.

Таким образом, это свойство можно сформулировать так: в оптимальный план включается выпуск только рентабельной продукции.

Свойство 4. Оценка как средство балансировки затрат и результатов в оптимальном плане.

Это свойство следует из теоремы 1. В соответствии с этой теоремой объём выпуска продукции в оптимальном плане (результат производства) равен оценке имеющихся ресурсов. Известно, что если план неоптимальный, то Z = W = , т.е. «затраты» превышают результат.

Проиллюстрируем эти свойства на конкретном примере.

При этом будем ориентироваться на решении задачи ЛП с помощью пакета прикладных задач QM for Windows. Как известно, задача ЛП решается симплексным методом, который представляет собой метод последовательного улучшения плана и реализуется в виде последовательных итераций. При необходимости эти итерации можно вывести на экран и распечатать.

В этом пакете программа (ЛП) позволяет решать задачи ЛП симплексным методом без каких-либо ограничений на их вид и размерностью до 90 х 90 (по числу ограничений и переменных). Если ограничения задачи заданы в виде неравенств, то кроме основных переменных для приведения задачи к основному виду программой предусмотрено введение балансовых переменных (с положительным знаком в случае неравенства вида и отрицательным – при знаке ). Обозначаются они в отчётах о решении задачи по-разному, в зависимости от того, с каким знаком вошли в ограничения. Если со знаком минус, то через “surplus” (излишек), а если со знаком плюс, то через “slack” (избыток), с соответствующими индексами. Если после введения балансовых переменных исходный базис неочевиден, то предусмотрено введение искусственных балансовых переменных. Искусственные переменные обозначаются через “artfcl”, с соответствующими индексами.

Необходимые сведения, нужные для анализа задачи, в дальнейшем будем приводить по мере необходимости.

При вводе исходной информации в диалоговом окне необходимо предварительно указать размерность задачи: число ограничений (Number of Constraints) и число переменных (Number of variables), а также тип целевой функции (Objective) – на минимум или максимум.

Задания для выполнения лабораторной работы.

1. Составить модели исходной и двойственной задач.

2. Решить задачу и вывести окна об отчёте решения.

3. Проанализировать полученное решение на основе свойств двойственных оценок.

4. Проанализировать решение задачи в условиях изменения:

а) цен в границах их устойчивости;

б) цен за пределами границ устойчивости;

и) запасов ресурсов а в границах устойчивости;

г) запасов ресурсов за пределами границ устойчивости.

5. Проанализировать решение задачи в предположении выпуска нерентабельной продукции в объёме не менее 15 единиц.

6. Проанализировать решение задачи в условиях реализации недефицитного ресурса и приобретении наиболее дефицитного ресурса для дополнительного выпуска продукции (цена ресурса соответственно равна 5, 3, 6 и 4 у.е).