1.2. Детермініровані аналогові сигнали і їх характеристики

До даного виду відносяться детерміновані і безперервні сигнали.

1.2.1. Властивості і характеристики непрервних сигналів

Властивості сигналів як безперервних функцій - монотонність, диференціруємість, по обмеженість амплітуді і енергії, наявність локальних і глобальних екстремумів, розривність першого і другого роду.

Для виконання деяких перетворень над сигналами, зокрема перетворення Фур'є, необхідно виконати спеціальні умови.

До спеціальних умов відносять умова Діріхле:

1. СИГНАЛ по модулюобмежений х (т) <∞ на кінцевому інтервалі часу.

2. Сигнал частково-безперервний (кінцеве число розривів) на кінцевому інтервалі часу.

3. Сигнал має кінцеве число екстремумів.

У деяких випадках використовують умова Ліпшиця, при якому сигнал вважається безперервним на інтервалі [t1, t2] і задовольняє умові х (t1) - х (t2) <ct1 -T2 для кінцевого значення гр.

1.2.2. Спектральні характеристики сигналів. Ряд Фурье

Поняття «спектр» вперше ввів Ньютон в 1664 р як розкладання світла на кольорові компоненти (частоти).

Спектральні характеристики сигналів пов'язані з поданням їх у формі ряду Фур'є: ao ∞ 2π

x t( ) = +^∑k=1a_k cos (kω₁t)+b_k sin (kω ω₁t); ₁ = _T ;

₂

T T T 2 2 2

a_o = ^∫0 x t dt( ) ; a_k = _T ^∫0 x t( )cos (kω₁t dt) ; b_k = _T ^∫0 x t( )sin (kω₁t dt) . _T

Таке уявлення справедливо для періодичних сигналів і сигналів з періодичним продовженням на осі часу.

Часто використовують комплексну форму ряду Фур'є:

1. ∞ ^jkω1^tT 1 2 − jkωt x( )t = ^∑ A e_k , A_k = _T ∫0 x t e( ) dt .

2. k=−∞

1.2.3. Спектр періодичного сигнала

Спектр періодичного сигналу може бути представлений різними характеристиками - комплексним спектром, спектральної щільністю потужності, амплітудним спектром, фазовим, що обгинає амплітуди і фази. Перераховані характеристики представлені в табл. 1.3.

Властивості спектра періодичного сигналу

1. Властивість дискретності. Спектр періодичного сигналу дискретний або лінійчатий. Він складається з окремих точок з кроком ω1 = 2π / T по осі

частот.

2. Властивість еквідистантним. Спектральні лінії знаходяться на рівній відстані ω1 = 2π / T.

3. Властивість симетрії. Коефіцієнти ряду Фур'є і спектр симетричні щодо частоти ω = 0.

4. Якщо сигнал - парна функція, то Ьк = 0, к = 1,2, ..., якщо сигнал - непарна функція, то ак = 0, к = 1,2, ... T 2 ∞

1. Рівність Парсеваля Pcp = _T1 ∫0 x(t) 2dt =⎛⎜_⎝ A₂o _⎠⎞⎟ + 1_{2 n}∑₌₁An2 .

T 2 M

1 2 ⎛ Ao ⎞ + 1 ∑ An2, M <∞ .

2. Нерівність Бесселя ∫0 x(t) dt <⎝⎜ 2 ⎟⎠ 2 n=1 T

1.2.4. Спектр неперіодичного сигнала. Перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є неперіодичної функції задається виразами

X dt, x .

Спектральні характеристики сигналів представлені в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Найменування характеристики	Вид характеристики
Комплексний спектр	∞ X( jω) = ∫x(t)exp(− jωt)dt −∞
Спектральна плотність сигнала	2 S(ω) =X( jω)= X( jω)X *( jω)
Амплитудний спектр	( * )1/2 A(ω) =X( jω) = U(ω) + jV(ω)= X( jω)X ( jω)
Фазовий спектр	ϕω( ) = arg(X j( ω))= arctg(V( )ω U( )ω)
Практична ширина спектра	Область частот ω∈[ω0;ω1], где A(ω) > Aпорога