1.2.5. Властивості перетворення Фур'є

Властивості перетворення Фур'є:

1. Лінійність:

а)F x t{ ₁( )+ x t₂( )+ x t₃( )+ +... x_т( )t }= X₁ ( jω)+ X₂( jω)+ X₃ ( jω)+ +... X_m ( jω),

б)F{αx t( )}=αF x t{ ( )}=α ωX j( ).

2. Спектральна характеристика запізнілої функції (теорема запізнювання) F{x(t −t₀)}= X( jω)e^{− jωt0} .

3. Зміщення (перенесення спектра) F⁻¹{X j( (ωω− ₀))}= x t e( ) ^jω0t .

4. Масштабування. При масштабуванні аргументу часу спра-

1 jω

вадливо F x{ (αt)}= X( )).

α α

5. Диференціювання оригінала F{x(t)}= jωX( jω).

6. Інтегрування оригінала x { (t)}= ¹ X( jω). jω 7. Теорема про згортку x(t)*h(t) ↔ X( jω)H( jω) .

'

8. Рівність Парсеваля ∫₋^∞_∞ x(t^{) 2}dt ⁼ ₂¹_π ∫₋^∞_∞ X( jω^{) 2}dω.

9. Інверсія аргументу часу x(−t) = X (− jω) = X ^* ( jω).

10. Дуальність спектра x(t) ⇔ X( jω), X(t) ⇔ x(− jω) .

11. Перетворення модульованого сигналу F x t{ ( )cos(ω₀t)}⇔ 1 X (− j(ωω− ₀))+ ¹ X (− j(ωω+ ₀)).

2 2

Властивості спектра неперіодичного сигналу:

1. Амплитудний спектр A(−ω) = A(ω) – парна функція, а фазовий ϕ(−ω) =−ϕ(ω) – непарна.

2. Якщо сигнал x( )t – дійсна і парна функції часу, то її спектральна щільність - дійсна функція частоти..

3. Якщо сигнал x( )t – дійсна і непарна функції часу, то її спектральна щільність - уявна функція частоти.

4. Рівність Парсеваля E dt .

1.2.6. Енергетичні характеристики сигналов

Енергетичні характеристики сигналів представлені в табл. 1.5. Таблица 1.5

Найменування характеристики	Вид характеристики
Миттєва потужність	P(t) = x2(t)
Енергія на періоді	E x t dt
Середня потужність сигналу на періоді при обмеженій енергії E<∞	1 t Pср = ∫ 0+T0 | x t( ) |2 dt T0 t0
Середня потужність в спектрі при необмеженої енергії E =∞	1 T P0 = lim ∫ x2 ( )t dt T→∞ T 0

1.3. Детерміновані цифрові сигнали і їх характеристики

Отримання цифрового сигналу можна умовно уявити як перетворення аналогового сигналу в пристроях дискретизації і квантування за рівнем.

1.3.1. Пристрої дискретизації і квантування сигналів

Аналого-цифровий пристрій можна спрощено уявити як пристрій дискретизації з двома ключами (рис.1.1).

Рис. 1.1

У момент дискретизації ключ К1 замикається і конденсатор заряджається до рівня вхідної напруги, а в моменти між дискрети (час T_s ) ключ К₂ замкнутий.

Рис. 1.2

Пристрій квантування представлено як статичну ланка з нелінійної характеристикою (рис. 1.2). Напруга на виході пристрою u_вых (t) = u_вх (t) +Δu(t), де Δu t( ) – шум квантування, n = 2ⁿ −1 – число рівнів

2U ^max квантування. Одиниця молодшого розряду (ЕМР) q = . Дисперсія

n

2

помилки квантування при рівномірному законі розподілу помилки заокруг-

q2 ₂ лення визначається величиною σ = .

12