1.4.2. Характеристики випадкового процесу

Назва характеристики

Вид характеристики

Властивості характеристики

Математичне сподівання

M xp_X (x,t)dx

M[x(t₁)+ x(t₂)]=M[x(t₁)]+M[x(t₂)]

Центральний момент k-го порядку

∞

M ^⎡_⎢⎣(x t( )^)k⎤_⎥⎦= ∫ (x t( )^)k p x t( , ) dx

−∞

Автоковаріаціонная функція

M

−∞−∞

Автокореляційна функція

M ⎡_⎣(x t( )₁ − x t( )₁ ) (x t( ₂)− xt₂)⎤_⎦= K_xx(t t_{1 2}, )

Kxx(t1,t2) = Kxx(t1 −t2)

– Для стаціонарного випадкового процесу

K_xx (0) = M[(x(t))²]=σ_t² – дисперсія

K_xx (τ) = ^K_xx (−τ)– парна функция

Для ергодичного процесуT 1

Kxx(τ) =limT→∞ 2T −∫Tx(t)x(t +τ)dτ

Взаємна кореляційна функція

M x t⎡_⎣( ( )₁ −x t( )₁ )(y t( )₂ −y t( )₂ )⎤_⎦=

∞ ∞

= ∫ ∫(x₁−x₁)(y y p− ₂) _XY(x t y t dxy, ; ,_{1 2}) _{1 2} =

Для ергодичного процесу 1 T

KXY(τ) =lim 2T −∫Tx(t)y(t +τ)dτ

T→∞

Нормована кореляційна функція

K (t t, )

rXY(t t1 2, )= XY 1 2

KXX(t t K t t1 1, ) YY( 2 2, )

rXX(t t1 2, )= XX (t t1 2, ) K

KXX (t t K1 1, ) XX (t t2 2, )

−1≤ rXY (t1 ,t 2 ) ≤1

rXY (t1 ,t 2 ) = rXY (t 2 ,t1 )

За часом Середнє

1 T x_t = ∫ x(t)dt

∞ T ₋T

Для эргодического процесса x_t = M[x(t)]

Середнє квадратів за часом

xt2 =lim 1 T∫ x2(t)dt

T→∞ 2T −T

Для эргодического процесса x_t² = M ⎡_⎣x²( )t ⎤_⎦

Назва характеристики

Вид характеристики

Властивості характеристики

Спектральна щільність потужності стаціонарного сигналу

S x ( j ) = Kxx ( )τ e− jωτdτ=

∞

2 K_xx ( )τ ωτ τcos( )d

K _xx

−∞

S_Kxx (ω) – действительная функция частоты

Характеристики процесу типу «білий шум»

N

K _xx (τ) = ^x δ(τ) 2

S_Kxx (ω) = ^N_x

Назва характеристики

Вид характеристики

Вид для оцінки характеристики

Середнє (математичне очікування)

x_t =x(t)dt

T →∞ 2T −T

1 N

x = ∑x_i

N _i=1

Дисперсія

xt2 =lim 1 T∫(x(t)−xt )2 dt

T→∞ 2T −T

1 N 2

N −1 i=1

Автокореляційна функція

x(t)x(t +τ) =

1 T

=^lim _{2T −}∫_Tx(t)x(t +τ)dt

T→∞

1 N n− −1

Kxx [ ]n = N −n ∑i=1 (xi − x)(xi n+ − x)

Взаємна кореляційна функція

x(t)y(t +τ) =

1 T

=^lim _{2T −}∫_Tx(t)y(t +τ)dt

T→∞

1 N n− −1

KXY [ ]n = N n− ∑i=1 (x x yi − )( i n+ −y)