2.4 Согласованная фильтрация

Согласованные фильтры предназначены для выделения сигналов известной формы на фоне шумов. Эти фильтры оптимальны в том смысле, что на выходе обеспечивают максимально возможное отношение сигнал/шум.

Можно показать (см. п. 9.4.3), что импульсная характеристика такого фильтра h(t) есть зеркальное отображение сигнала с некоторой задержкой. Если обозначить сигнал s(t), то его зеркальное отображение s(-t), а с добавлением запаздывания на время Т_с это s(Т_с - t). Как известно, выход согласованного фильтра во временной области описывается сверткой принимаемого сигнала z(t) с импульсной характеристикой фильтра (см. (2.35, а)). Применяя принцип причинности, говорящий о том, что сигнал на выходе фильтра не может появиться раньше, чем сигнал поступит на его вход, получаем

(9.5)

Подставляя сюда оговоренное выше значение

h(t) = s(Т_с - t),

получим

.

(9.6)

До момента t =Т_с (9.6) определяется выражением

представляющим собой корреляцию s(t) и z(t). Следовательно, сигнал, наилучшим образом согласующийся с импульсной характеристикой фильтра дает наибольшую корреляцию. Реакция согласованного фильтра эквивалентна действию корреляционного приемника. Однако следует помнить, что выходы коррелятора и согласованного фильтра одинаковы только в момент времени t = T_c.

Более подробно работа согласованного фильтра рассмотрена в п. 9.4.3.

3 Оптимальный прием сигналов при наличии помех

Приемное устройство на основании принятой реализации должно оптимальным образом определить, имеется ли определенный сигнал в этой реализации (задача обнаружения или различения), или каковы параметры полезного сигнала (задача восстановления). Возникает вопрос – на основе чего определять степень оптимальности приемника? Ведь прием осуществляется на фоне помех, следовательно, сигнал принимается с ошибкой. А это, в свою очередь, означает, что любая из вышеперечисленных задач дает результат с вероятностью меньше единицы. Значит, оптимальный способ обработки сигналов придется описывать при помощи статистических методов, в частности, задачи проверки гипотез. Смоделируем работу оптимального приемника (рис. 9.3). Итак, будем считать, что источник вырабатывает двоичные символы х₀, соответствующий двоичному нулю и х₁, соответствующий двоичной единице. Априорные вероятности появления этих символов на выходе источника обозначим p(х₀) и р(х₁) соответственно. С точки зрения приемника, поскольку заранее неизвестно, какой из символов в данный момент передается, символ на входе есть случайная величина Х. Она может принимать одно из двух значений х₀ и х₁. Этому соответствуют две гипотезы: Н₀ – «было передано сообщение х₀» и Н₁ – «было передано сообщение х₁», а процесс передачи информации по двоичному каналу можно описать переходными плотностями вероятности (Х | H₀) и (Х | H₁)

Приемник определяет, принадлежит ли принимаемая величина Х множеству разрешенных сигналов, называемому областью наблюдения. Обозначим такое множество Y. Оно разбивается на два (а в общем случае на несколько) подмножества на основании определенного правила, которое называют решающим. В нашем примере это подмножества Y₀ и Y₁. Оптимизация приема будет заключаться в установлении разумного, в определенном смысле наилучшего правила принятия решения о принадлежности принимаемой случайной величины Х одному из подмножеств согласно решающему правилу. Это означает, что для каждой реализации Х должен быть дан однозначный ответ, каким из сообщений, х₀ или х₁ она порождена. Если Х соответствует области Y_i (i = 0, 1), то выносится решение в пользу гипотезы H_i.

Рис. 9.3 – Модель оптимального приема

Поскольку приемник может только предполагать, что было передано на самом деле, решение приемника может отличаться от реального положения дел, а потому оно является «оценочным», и мы будем обозначать его в дальнейшем .

Итак, процесс принятия решения обязательно сопровождается ошибками. В задаче проверки двух гипотез известно, что справедлива может быть либо гипотеза Н₀, либо Н₁. При этом возможны следующие исходы:

Табл. 9.1 Исходы приема

Событие	Решение	Название
Н0		Правильное необнаружение сигнала
Н0		Ложное обнаружение, ложная тревога (ошибка 1 рода)
Н1		Правильное обнаружение сигнала
Н1		Пропуск сигнала (ошибка 2 рода)

Термины, использованные в табл. 9.1, могут показаться несколько странными, поскольку заимствованы связистами из области задач радиолокации. Тем не менее, они достаточно полно отражают события, происходящие при обнаружении сигнала.

Рассмотрим подробнее каждый исход.

Ошибка первого рода возникает в случае, когда на основании анализа реализации случайной величины Х приемник ошибочно решил, что она принадлежит подмножеству Y₁ и вынес решение о том, что передавалось сообщение x₁ (гипотеза ), в то время как на самом деле было передано сообщение х₀ (гипотеза H₀). В рамках нашей модели эта ошибка может возникать с вероятностью

.

(9.7)

Ошибка второго рода возникает в случае, когда на основании анализа реализации случайной величины Х приемник ошибочно решил, что она принадлежит подмножеству Y₀ и вынес решение о том, что передавалось сообщение x₀ (гипотеза ), в то время как на самом деле было передано сообщение х₁ (гипотеза H₁). Вероятность ошибки второго рода

.

(9.8)

Тогда случаю правильного необнаружения соответствует вероятность

.

(9.9)

А случаю правильного обнаружения – вероятность

.

(9.10)

Очевидно, что  +  = 1 и  +  = 1. Отсюда следует, что

 = 1 - .

(9.11)

Для того, чтобы уяснить взаимосвязь между полученными величинами, рассмотрим два крайних случая. Пусть Y = Y₀, тогда Y₁ =  представляет собой пустое множество, значит ошибка первого рода  = 0, а ошибка второго рода  = 1. Если же Y = Y₁, то Y₀ =  и ошибки первого и второго рода соответственно равны  = 1,  = 0. Отсюда видно, что, меняя границу между областями Y₀ и Y₁, можно получить любое соотношение между вероятностями  и . Оптимальным будет приемник, обеспечивающий наилучшее в некотором смысле соотношение между  и . В то же время из выражений (9.7) – (9.11) следует, что невозможно минимизировать вероятности ошибок обоих видов, т.е. уменьшение  ведет к увеличению  и наоборот. Поэтому минимизируют линейную комбинацию этих вероятностей. В зависимости от вида этой комбинации различают следующие критерии оптимального приема.

1) Критерий минимума среднего риска (критерий Байеса)

В соответствии с критерием правило выбора решения формулируется следующим образом: принимается та гипотеза, при которой обеспечивается минимальный риск

r = r p(x0) + r p(x1) = min.

(9.12)

Здесь r_ и r_ - весовые коэффициенты, называемые также коэффициентами стоимости или платы за ошибку. Они показывают, насколько опасна в данном случае ошибка первого или второго рода. Например, для радиолокационных станций предпочтительней обнаружение ложной цели, чем пропуск объекта в зону контроля.

2) Критерий идеального наблюдателя (критерий Котельникова)

Согласно данному критерию принимается та гипотеза, при которой обеспечивается минимум общей ошибки принятия решения.

Общая вероятность ошибки определяется выражением

рош = р(х0) + р(х1) = min.

(9.13)

Критерий соответствует системам связи, в которых ошибки первого и второго рода одинаково опасны. Следовательно, критерий идеального наблюдателя является частным случаем критерия минимума среднего риска.

3) Критерий минимума средневзвешенной ошибки

При передаче двоичных сообщений часто априорные вероятности р(х₀) и р(х₁) оказываются одинаковыми. В таком случае получаем второй частный случай критерия минимума среднего риска. Здесь минимизируется средняя величина ошибки с учетом коэффициентов стоимости:

r = r  + r  = min.

(9.14)

Правила задания весовых коэффициентов остаются неизменными.

4) Критерий Неймана-Пирсона

Этот критерий применяется тогда, когда ошибки первого и второго родов не одинаково опасны. Вероятность ошибки первого рода необходимо ограничить некоторой очень малой величиной, а вероятность ошибки второго рода при этом обеспечить минимальной.

Исходя из этого, критерий Неймана — Пирсона можно сформулировать следующим образом: наилучшим решением является такое, при котором обеспечивается наименьшая вероятность ошибки второго рода при заданной допустимой вероятности ошибки первого рода.

Из перечисленных критериев наиболее простым с точки зрения математики является критерий минимума средневзвешенной ошибки, поэтому выберем его для определения структуры оптимального приемника. При этом условие оптимальности

r = r_  + r_  = min

Разделим левую и правую часть на r_, получим:

.

(9.15)

Введем обозначение и поменяем местами первое и второе слагаемые в (9.15), получим:

(9.16)

Подставим в (9.16) выражение (9.11). Тогда

.

Теперь заменим ошибки первого и второго рода интегральными выражениями согласно (9.8) и (9.7). Получим следующее

(9.17)

Условие минимума в выражении (9.17) может быть выполнено только в том случае, если значение интеграла будет возможно бóльшим. Тогда можно записать:

(9.18)

Максимум интеграла достигается в случае, когда подмножество Y₁ включает в себя только положительные значения X. Таким образом,

.

Разделим полученное неравенство на (X | H₀), получим

.

(9.19)

Это выражение представляет собой неявное задание подмножества Y₁; обратное неравенство, очевидно, задает подмножество Y₀. По принадлежности каждому из подмножеств выносится гипотеза, тогда (9.19) можно видоизменить следующим образом:

.

(9.20)

Вернемся к условиям, соответствующим реальному приему. Х представляет собой реализацию принятого сигнала x(t), а гипотезам H₁ и H₀ соответствуют заранее известные сигналы. Тогда (x | H₀) и (x | H₁) для конкретных значений выборки представляют собой вполне определенные числа. Эти значения принято называть функциями правдоподобия. Будем обозначать их в дальнейшем так:

(x | H0) = , (x | H1) = .

(9.21)

Функция правдоподобия показывает степень соответствия результата наблюдения каждой из гипотез.

Обозначим их отношение

.

(9.22)

Отношение функций правдоподобия принято называть отношением правдоподобия.

Оно показывает, насколько правдоподобнее предположение о справедливости первой гипотезы по сравнению со второй. В таком случае ₀ будет иметь смысл порогового значения, по отношению к которому и будет определяться, соответствует ли принятый сигнал сообщению х₀ или х₁.

Перепишем (9.20) с учетом введенных обозначений:

.

(9.23)

Полученная форма записи для отношения правдоподобия является универсальной для любого из вышеперечисленных критериев. Отличия будут заключаться в выражении для ₀. Для рассмотренных критериев пороговые значения сведены в таблицу:

Табл. 9.2 Критерии и пороги

Наименование критерия	Пороговое значение
Критерий Байеса
Критерий Котельникова
Минимум средневзвешенной ошибки
Критерий Неймана-Пирсона	Находится из условия

Из выражения (9.23) следует структура оптимального приемника. Он должен выполнить два действия: вычислить отношение правдоподобия принимаемого сигнала (x) и сравнить полученный результат с ₀. Обобщенная схема представлена на рис. 9.4.

Рис. 9.4 – Обобщенная структура оптимального приемника

Определив состав оптимального приемника, перейдем к анализу его работы. Для этого будем рассматривать, как такой приемник будет выполнять задачи оптимального приема.