4.4 Примеры синтеза согласованных фильтров

Выберем в качестве полезного входного сигнала s(t) одиночный прямоугольный импульс (видеоимпульс) длительностью Т_с и амплитудой A:

.

Спектральная плотность сигнала определяется выражением

.

(9.49)

Определим требуемый вид комплексного коэффициента передачи согласованного фильтра, воспользовавшись выражением (9.43). Получим:

Для того, чтобы определить структуру согласованного фильтра введем ряд упрощений: положим с = 1 и A = 1, тогда

(9.50)

В выражении (9.50) первый сомножитель соответствует интегратору сигнала, а множитель описывает задержку сигнала на время T_c. Такую операцию может исполнять линия задержки. Поскольку перед стоит знак минус, придется ввести в схему вычитающее устройство. Следовательно, блок-схема оптимального приемника-обнаружителя полностью известного сигнала строится, как показано на рис. 9.9.

Рис. 9.9 – Структурная схема фильтра, согласованного с когерентным видеоимпульсом

Интегратор иногда также размещают после вычитателя, поскольку в (9.50) сомножители можно поменять местами.

Входной полезный сигнал интегрируется и получившийся в итоге сигнал поступает на вычитающее устройство непосредственно с выхода интегратора (u₁(t), см. рис. 9.10) и с выхода линии задержки на интервал Т_с, (u₂(t), см. рис. 9.10), где производится вычитание u₁(t)-u₂(t).

В момент времени T_c формируется максимум s_вых, который поступает на схему принятия решений, состоящую из электронного ключа и порогового устройства (см. рис. 9.7).

Рис. 9.10 – Временные диаграммы сигналов согласованного фильтра

С практической точки зрения полезным будет анализ согласованной фильтрации одиночного прямоугольного импульса с высокочастотным заполнением, называемого также радиоимпульсом.

Последний задается выражением

.

Спектральная плотность такого сигнала.

.

Вид комплексного коэффициента передачи согласованного фильтра тогда определяется выражением

.

Для анализа структуры фильтра применим те же упрощения, что и в предыдущем случае (c = A = 1), тогда

.

(9.51)

Первый сомножитель описывает поведение высокочастотного интегратора, представляющего собой колебательный контур высокой добротности, настроенный на частоту ₀, слагаемое по-прежнему символизирует задержку сигнала на время Т_с, а слагаемому соответствует фазовращаетлю (ФВ), подстраивающему фазу колебаний в колебательном контуре.

В частном случае, если за интервал [0,T_c] укладывается целое число периодов высокочастотного сигнала, , отпадает необходимость в фазовращателе.

В общем случае структура фильтра будет выглядеть так:

Рис. 9.11 – Структурная схема фильтра, согласованного с когерентным радиоимпульсом

А сигнал на выходе будет представлять собой колебание, представленное на рисунке ниже

Рис. 9.12 – Сигнал на выходе фильтра, согласованного с когерентным радиоимпульсом

4.5 Оптимальное обнаружение сигнала со случайной начальной фазой (некогерентный прием)

В случае некогерентного приема момент появления известного по форме сигнала (его фаза) рассматривается как значение случайной переменной. Такой случай характерен для асинхронных систем связи. Рассмотрим сигнал, представляющий собой гармоническое колебание на отрезке [0,Т_с], фаза которого содержит случайную компоненту  (9.52).

.

(9.52)

с равномерной плотностью вероятностей на интервале [-,]:

.

(9.53)

На входе приемника-обнаружителя будет действовать сигнал z(t, ), представляющий собой смесь полезного сигнала s(t, ) и белого гауссовского шума n(t) со спектральной плотностью мощности N₀ / 2.

,

(9.54)

где параметр а = 0 при передаче двоичного нуля и а = 1 при передаче двоичной единицы.

Определим структуру оптимального приемника-обнаружителя. Эта задача решается на основании отношения правдоподобия (9.23).

.

В п. 9.4.1 было показано, что функционал правдоподобия, согласно (9.25), имеет вид:

.

В нашем случае Z(T_c) следует заменить на

.

(9.55)

Поскольку в сигнале появилась случайная величина , случайным образом меняется также (z). Поэтому для ее описания воспользуемся выражением (9.55). Тогда

.

(9.56)

Отношение правдоподобия получилось также случайной величиной. Очевидно, что пользоваться такой ее формой записи для практических целей невозможно, поэтому исключим случайную компоненту. Для этого найдем математическое ожидание (9.56)

.

(9.57)

Чтобы вычислить это выражение, необходимо определиться с видом (z, ). Преобразуем (9.55) следующим образом: выделим случайную компоненту фазы, воспользовавшись тригонометрическим правилом . В итоге получим следующее:

(9.58)

Введем обозначения

где Z₁ и Z₂ имеют вполне определенные значения и не являются случайными величинами. Подставив их в (9.58), получим

.

(9.59)

Для практических целей удобно ввести модуль корреляционного интеграла

.

Тогда (9.59) можно записать в виде

.

(9.60)

Полезно проанализировать поведение отношений Z₁ / Z и Z₂ / Z. Величины в числителе и знаменателе не превышают 1, поэтому можно записать

и рассматривать эти отношения как косинус (или как синус) произвольного угла . Выражение (9.60) тогда приобретает следующий вид:

.

(9.61)

Подставив (9.53) и (9.61) в (9.57), найдем математическое ожидание (z, ).

(9.62)

где I₀(x) – модифицированная функция Бесселя 1 рода нулевого порядка.

Итак, на основании (9.23) можно записать

.

Прологарифмировав левую и правую части, получим

.

И, окончательно,

.

(9.63)

Поскольку (-N₀ / E) = const, а I₀(х) – монотонная функция х, можно перейти к форме

.

(9.64)

Правилу (9.64) соответствуют две схемы оптимального приемника – обнаружителя: корреляционный или на согласованных фильтрах.