8.2. Особенность рекурсивных вычислений оценки

Рекурсивные процедуры вычислений известны давно, со времен И.Ньютона, однако окончательно удалось их формализовать и оптимизировать уже в эру кибернетики. Наибольший вклад в изучение рекурсивных методов оценки внесли Р. Калман и Э. Бьюси. Кроме того, с рекурсивными процедурами стохастической аппроксимации связывают имена Качмажа, Роббинса, Монро и др.

Суть рекурсивных процедур в том, что по полученному на -м шаге значению вычисляется последующее значение на -м шаге. Далее значение на -м шаге вычисляется по полученным на -м шаге. То есть последующие значения вычисляются по предыдущим, но с учетом новых, очередных результатов наблюдения. Рекурсивная оценка – это процедура вычисления условного среднего , где - наблюдение.

Первой особенностью рекурсивных процедур является то, что они обладают ограниченной памятью, «забывают» дальнее и даже недалекое прошлое. Представим общий вид дискретной рекурсивной процедуры:

, (8.2)

где - масштабирующий весовой коэффициент, обычно ; - добавка к оценке на предыдущем шаге , невязка, учитывающая изменение текущего значения наблюдения .

Из уравнения (8.2) следует, что добавка к значению оценки на шаге как бы корректирует предыдущее значение оценки по результату наблюдения на данном шаге дискретизации. Коэффициентом устанавливается уровень влияния добавки , а, соответственно, и скорости сходимости оценки к установившемуся состоянию. Следует иметь в виду, что при больших значениях , близких к единице, отмечаются большие ошибки в установившемся состоянии, при маленьких , =1,2,…,10 скорость сходимости уменьшается, «удлиняется» память, при этом точность оценки возрастает.

Вторая особенность и отличие от выборочной оценки среднего , где в результате вычисления получают конкретное число – математическое ожидание, - значение рекурсивной оценки (8.2) может изменяться и корректироваться в процессе наблюдения, и если процесс приобретает ту или иную тенденцию (тренд) нестационарности, то получаемые значения рекурсивной оценки отобразят данную тенденцию (оценка будет корректироваться в соответствии с новыми наблюдениями).

Третья особенность в том, что процедура вычисления оценки продолжается до тех пор, пока поступают в реальном времени результаты наблюдений . Эту оценку можно остановить в любой момент времени или использовать на любом шаге дискретизации.

Рекурсивным свойством обладают марковские процессы:

, (8.3)