12. Як знайти аналітичним методом точки екстремуму функції однієї змінної?

Задана функція однієї змінної (x). Для того щоб визначити екстремум, необхідно:

1. Знайти першу похідну функції.

2. Прирівняти її до нуля.

3. Розв'язати рівняння, визначивши х .

4. Знайти другу похідну функції. Визначити знак цієї похідної. Якщо

друга похідна менша за 0, то точка х — максимум функції. Якщо друга

похідна більша за 0, то точка х — мінімум функції.

13) В точці екстремуму перша похідна функції дорівнює нулю. Як визначити її тип – це максимум, мінімум, або точка перегину?

Метод 1:

Если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум. Если же

то точка - точка перегиба

Метод 2:

в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе че рез точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.

14) Перерахуйте підходи до чисельних методів вирішення нелінійних задач оптимізації та поясніть їх сутність.

Одним із методів, які дозволяють звести задачу нелінійного програмування до розв'язування системи рівнянь є метод невизначених множників Лагранжа.

Якщо цільова функція F є лінійною, а обмеженим простором є поліглотка, то задача є задачею лінійного програмування, яка може бути розв'язана за допомогою добре відомих рішень лінійного програмування.

Якщо цільова функція є увігнутою (задача максимізації), або опуклою (задача мінімізації) і множина обмежень є опуклою, то задачу називають опуклою і в більшості випадків можуть бути використані загальні методи опуклої оптимізації.

Якщо цільова функція є відношенням увігнутих і опуклих функцій (у разі максимізації) і обмеження опуклі, то задача може бути перетворена в задачу опуклої оптимізації використанням технік дробового програмування.

Існують декілька методів для розв'язування неопуклих задач. Один підхід полягає у використанні спеціальних формулювань задач лінійного програмування. Інший метод передбачає використання методів гілок і меж, де задача поділяється на підкласи, щоби бути розв'язаною з опуклими (задача мінімізації) або лінійними апроксимаціями, які утворюють нижню межу загальної вартості у межах поділу. При наступних поділах у певний момент буде отримано фактичний розв'язок, вартість якого дорівнює найкращій нижній межі, отриманій для будь-якого з наближених рішень. Цей розв'язок є оптимальним, хоча, можливо, не єдиним. Алгоритм можна також припинити на ранній стадії, з упевненістю, що оптимальний розв'язок знаходиться в межах допустимого відхилення від знайденої кращої точки; такі точки називаються ε-оптимальними. Завершення біля ε-оптимальних точок, як правило, необхідне для забезпечення скінченності завершення. Це особливо корисно для великих, складних задач і задач з невизначеними витратами або значеннями, де невизначеність може бути оцінена з відповідної оцінки надійності.

Диференційовність і умови регулярності, умови Калуша — Куна — Такера (ККТ) забезпечують необхідні умови оптимальності розв'язку. При опуклості, ці умови є й достатніми.