1. Механика

1.1. Основные формулы классической механики

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси х:

x=f(t) ,

где f(t) – некоторая функция времени.

Проекция средней скорости на ось х:

,

Средняя путевая скорость:

,

где s – путь, пройденный точкой за интервал времени t.

Проекция мгновенной скорости на ось х:

,

Проекция среднего ускорения на ось х:

,

где v – изменение скорости, за интервал времени t.

Проекция мгновенного ускорения на ось х:

,

Кинематическое уравнение зависимости угла при движения материальной точки по окружности:

φ=f(t), при r=const,

где r – радиус окружности.

Модуль угловой скорости:

,

где – первая производная угла по времени

Модуль углового ускорения:

,

где – первая производная угловой скорости по времени

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

v=ωR, a_τ=εR, a_n=ω²R,

где v – модуль линейной скорости;

а_τ и a_n – модули тангенциального и нормального ускорений;

ω – модуль угловой скорости;

ε – модуль углового ускорения;

R – радиус окружности.

Модуль полного ускорения:

или ,

Импульс материальной точки массой т, движущейся со скоростью v:

р=mv.

Второй закон Ньютона:

dP=Fdt,

где dP – дифференциально малое изменение импульса;

где F – результирующая сила, действующая на материальную точку в течение дифференциально малого промежутка времени dt.

Силы, рассматриваемые в механике:

а)сила упругости: F = – kx,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость);

х – абсолютная деформация;

б)сила тяжести: Р = mg,

где m – масса тела;

g – ускорение свободного падения, g = 9,8 м/с²;

в)сила гравитационного взаимодействия:

,

где G – гравитационная постоянная;

т₁ и т₂ – массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки).

В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность G гравитационного поля:

F=mG,

г) сила трения (скольжения):

F=μN,

где μ – коэффициент трения;

N – сила нормального давления.

Закон сохранения импульса:

= const,

или для двух тел (i=2)

m₁v₁+ m₂v₂=m₁u₁+ m₂u₂,

где v₁ и v₂ – скорости тел в момент времени, принятый за начальный;

u₁ и u₂ – скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступа­тельно:

, или

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины:

П= ,

где k – жесткость пружины;

х – абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия:

П = ,

где G – гравитационная постоянная;

т₁ и т₂ – массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести:

П = mgh,

где g – ускорение свободного падения;

m – масса тела;

h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедли­ва при условии h<<R, где R – радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии:

Е=T+П=const.

Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

А = ΔT= T₂-T₁.

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси:

М = Iε,

где М – результирующий момент внешних сил относи­тельно оси z, действующих на тело;

ε – угловое ускоре­ние;

I– момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой т относи­тельно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню:

,

где m – масса стержня;

l – длина стержня;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра):

I=mR²,

где m – масса обруча (цилиндра);

где R – радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска:

где m – масса диска;

где R – радиус диска;

Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z:

L_z=I_zω,

где ω – угловая скорость тела;

I_z – момент инерции тела относительно оси z.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z:

I_zω=const,

где I_z – момент инерции системы тел относительно оси z;

ω – угловая скорость вращения тел системы во­круг оси z.

Кинетическая энергия вращательного движения:

или .