3. Электродинамика

3.1. Основные формулы электродинамики

Закон Кулона:

,

где F – сила электростатического взаимодействия между двумя заряженными телами;

q₁, q₂ – электрические заряды тел;

ε – относительная, диэлектрическая проницаемость среды;

ε₀=8,85·10^-12 Ф/м – электрическая постоянная;

r – расстояние между двумя заряженными телами.

Линейная плотность заряда:

,

где dq – элементарный заряд, приходящийся на участок длины dl.

Поверхностная плотность заряда:

,

где dq – элементарный заряд, приходящийся на поверхность ds.

Объемная плотность заряда:

,

где dq – элементарный заряд, в объеме dV.

Напряженность электрического поля:

,

где F – сила действующая на заряд q.

Теорема Гаусса:

,

где Е – напряженность электростатического поля;

dS – вектор, модуль которого равен площади пронизываемой поверхности, а направление совпадает с направлением нормали к площадке;

q – алгебраическая сумма заключенных внутри поверхности dS зарядов.

Теорема о циркуляции вектора напряженности:

Потенциал электростатического поля:

,

где W_p – потенциальная энергия точечного заряда q.

Потенциал точечного заряда:

.

Напряженность поля точечного заряда:

.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной прямой равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром:

,

где τ – линейная плотность заряда;

r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, напряженность поля в которой определяется.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерной заряженной плоскостью:

,

где σ – поверхностная плотность заряда.

Связь потенциала с напряженностью в общем случае:

E= – gradφ= .

Связь потенциала с напряженностью в случае однородного поля:

E= ,

где d – расстояние между точками с потенциалами φ₁ и φ₂.

Связь потенциала с напряженностью в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией:

E= .

Работа сил поля по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом φ₁ в точку с потенциалом φ₂:

A=q(φ₁– φ₂).

Электроемкость проводника:

,

где q – заряд проводника;

φ – потенциал проводника при условии, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю.

Электроемкость конденсатора:

,

где q – заряд конденсатора;

U – разность потенциалов между пластинами конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора:

,

где ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, расположенного между пластинами;

d – расстояние между пластинами;

S – суммарная площадь пластин.

Электроемкость батареи конденсаторов:

а) при последовательном соединении:

б) при параллельном соединении:

Энергия заряженного конденсатора:

,

где q – заряд конденсатора;

U – разность потенциалов между пластинами;

C – электроемкость конденсатора.

Сила постоянного тока:

,

где dq – заряд, протекший через поперечное сечение проводника за время dt.

Плотность тока:

,

где I – сила тока в проводнике;

S – площадь проводника.

Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС:

,

где I – сила тока на участке;

U – напряжение на концах участка;

R – сопротивление участка.

Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС:

,

где I – сила тока на участке;

U – напряжение на концах участка;

R – полное сопротивление участка;

ε – ЭДС источника.

Закон Ома для замкнутой (полной) цепи:

,

где I – сила тока в цепи;

R – внешнее сопротивление цепи;

r – внутреннее сопротивление источника;

ε – ЭДС источника.

Законы Кирхгофа:

1.

2. ,

где – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле;

– алгебраическая сумма падений напряжений в контуре;

– алгебраическая сумма ЭДС в контуре.

Сопротивление проводника:

,

где R – сопротивление проводника;

ρ – удельное сопротивление проводника;

l – длина проводника;

S – площадь поперечного сечения проводника.

Проводимость проводника:

,

где G – проводимость проводника;

γ – удельная проводимость проводника;

l – длина проводника;

S – площадь поперечного сечения проводника.

Сопротивление системы проводников:

а) при последовательном соединении:

а) при параллельном соединении:

Работа тока:

,

где A – работа тока;

U – напряжение;

I – сила тока;

R – сопротивление;

t – время.

Мощность тока:

.

Закон Джоуля – Ленца

,

где Q – количество выделившейся теплоты.

Закон Ома в дифференциальной форме:

j=γE,

где j – плотность тока;

γ – удельная проводимость;

E – напряженность электрического поля.

Связь магнитной индукции с напряженность магнитного поля:

B=μμ₀H,

где B – вектор магнитной индукции;

μ – магнитная проницаемость;

μ₀=4π·10^-7 Гн/м – магнитная постоянная;

H – напряженность магнитного поля.

Закон Био – Савара – Лапласа:

,

где dB – индукция магнитного поля, создаваемая проводником в некоторой точке;

μ – магнитная проницаемость;

μ₀=4π·10^-7 Гн/м – магнитная постоянная;

I – сила тока в проводнике;

dl – элемент проводника;

r – радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку, в которой определяется индукция магнитного поля.

Закон полного тока для магнитного поля (теорема о циркуляции вектора B):

,

где n – число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.

Магнитная индукция в центре кругового тока:

,

где R – радиус кругового витка.

Магнитная индукция на оси кругового тока:

,

где h – расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля прямого тока:

,

где r₀ – расстояние от оси провода до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля соленоида:

B=μμ₀ nI,

где n – отношение числа витков соленоида к его длине.

Сила Ампера:

dF=I[dl, B],

где dF – сила Ампера;

I – сила тока в проводнике;

dl – длина проводника;

B – индукция магнитного поля.

Сила Лоренца:

F=qE+q[v B],

где F – сила Лоренца;

q – заряд частицы;

E – напряженность электрического поля;

v – скорость частицы;

B – индукция магнитного поля.

Магнитный поток:

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности:

Φ=B_nS ,

где Φ – магнитный поток;

B_n – проекция вектора магнитной индукции на вектор нормали;

S – площадь контура;

б) в случае неоднородного магнитного поля и произвольной проекции:

.

Потокосцепления (полный поток) для тороида и соленоида:

Ψ=NΦ,

где Ψ – полный поток;

N – число витков;

Φ – магнитный поток, пронизывающий один виток.

Индуктивность контура:

.

Индуктивность соленоида:

L=μμ₀ n²V,

где L – индуктивность соленоида;

μ – магнитная проницаемость;

μ₀– магнитная постоянная;

n – отношение числа витков к его длине;

V – объем соленоида.

Закон электромагнитной индукции Фарадея:

,

где ε_i – ЭДС индукции;

– изменение полного потока в единицу времени.

Работа по перемещению замкнутого контура в магнитном поле:

A=IΔΦ,

где A – работа по перемещению контура;

I – сила тока в контуре;

ΔΦ – изменение магнитного потока, пронизывающего контур.

ЭДС самоиндукции:

.

Энергия магнитного поля:

.

Объемная плотность энергии магнитного поля:

,

где ω – объемная плотность энергии магнитного поля;

B – индукция магнитного поля;

H – напряженность магнитного поля;

μ – магнитная проницаемость;

μ₀– магнитная постоянная.