Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. График зависимости X(t).
Ø вывод уравнения вынужденных колебаний
Все
реальные колебания являются затухающими.
Чтобы реальные колебания происходили
достаточно долго нужно периодически
пополнять энергию колебательной
системы, действуя на нее внешней
периодически изменяющейся силой:
;
(84) где
- частота вынуждающей силы. Запишем
уравнение динамики:
;
(85)
;
(86)
;
(87)
|
дифференциальное уравнение второго порядка вынужденных гармонических колебаний. |
(88)
Ø решение уравнения вынужденных колебаний
Решением
уравнения (88) является уравнение:
(89)
При
приложении внешней силы сначала
возникает переходное состояние, при
котором физическая система участвует
одновременно в двух колебаниях, поэтому
решением уравнения (88) будет выражение,
состоящее из двух слагаемых:
(89), где
- решение затухающего колебания,
- решение незатухающих периодических
колебаний с вынуждающей частотой
(90),
где А – амплитуда вынужденных к
олебаний,
- сдвиг фаз между смещением и вынуждающей
силой
Установившиеся вынужденные колебания являются так же гармоническими.
Найдем значение амплитуды А и начальной фазы .
Для этого запишем уравнение для скорости и ускорения и подставим их в (88)
(91)
(92)
(93)
Для упрощения решения можно воспользоваться методом векторных диаграмм:
Из рисунка видно, что
(94)Результирующая
амплитуда равна:
(95)
Из
рисунка найдем начальную фазу
результирующего колебания
(
сдвиг фаз между смещением и вынуждающей
силой):
(96)
X(t), V(t), a(t) в случае незатухающих колебаний.
Кинетическая, потенциальная, полная механическая энергии в случае незатухающих механических колебаний.
Ø
кинетическая
энергия (
):
В колебаниях любых систем происходит непрерывное превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно. Например при колебаниях М.М. и Ф.М.
Кинетическая энергия системы, совершающей гармонические колебания, равна:
,
(43)где скорость изменяется по
гармоническому закону:
(44)
После подстановки, имеем:
(45)
Если учесть, что
(46)
и
,
кинетическая энергия будет равна:
(47)
Согласно формулам приведения:
,
получим
(48)
Вывод:
физической системы совершает гармонические
колебания с круговой частотой
,
а величина ее периодически изменяется
от 0 до
.
Ø
потенциальная
энергия (
);
Любая физическая система совершает гармонические колебания под действием квазиупругой силы, потенциальную энергию можно найти по формуле потенциальной энергии упруго-деформированного тела:
(49)т.к.
,
то подставляя, получаем:
(50)Т.к.
,
то
,
тогда
(51)
Если учесть, что
(52)
и , потенциальная энергия будет равна:
(53)
(54)
Вывод:
физической системы совершает гармонические
колебания с круговой частотой
,
а величина ее периодически изменяется
от 0 до
.
Ø
полная
энергия гармонических колебаний (
);
По определению полная механическая энергия системы равна алгебраической сумме кинетической и потенциальной энергий:
(55)Т.к.
и
,
то
(56)
(57)
Вывод:
механической системы прямо пропорциональна
и не зависит от времени.
x(t), v(t), a(t) в случае затухающих колебаний.